Материал: Справочные материалы по теории дифференциальных и разностных уравнений (90

Все решения данной системы будут асимптотически устойчивы тогда и только тогда, когда матрица

будет иметь только собственные значения с отрицательной действительной частью.

В случае n 3 целесообразно находить собственные значения матриц в среде MathCAD (или в другом математическом пакете).

Достаточно ввести матрицу коэффициентов системы

и получить вектор собственных значений матрицы (включая комплексные собственные значения) с помощью функции

eigenvals(A)

3. Устойчивость по линейному приближению (линеаризация системы).

Пусть дана система нелинейных ОДУ 1-го порядка с постоянными ко-

эффициентами

для которой выполняется F 0 0.

Построим матрицу

16

Если:

1) действительные части всех собственных значений матрицы A отри-

цательны, то начало координат является асимптотически устойчивым поло-

жением равновесия;

2) хотя бы одно собственное значение матрицы A имеет положитель-

ную действительную часть, то начало координат является неустойчивым по-

ложением равновесия; 3) в остальных случаях исследовать нелинейную систему на устойчи-

вость с помощью линеаризации нельзя.

Замечание. Если fi представляют собой многочлены, то для линеари-

зации системы достаточно удалить все члены, степень которых превосходит

1.

2 Разностные уравнения

2.1 Линейные разностные уравнения второго порядка с постоян-

ными коэффициентами

Определение. Линейным разностным уравнением второго порядка с

постоянными коэффициентами называется уравнение вида

y n 2 py n 1 qy n f n q 0 .

17

Продолжение таблицы 9

19