Материал: Справочные материалы по теории дифференциальных и разностных уравнений (90

тами и специальной правой частью

Линейное неоднородное ОДУ

второго порядка с постоянны-

y py qy f x

ми коэффициентами и специ-

альной правой частью

Характеристическое уравнение

2 p q 0

f x

Корни характери-

Вид частного решения

стического уравне-

ния

0 не

является кор-

~

x Amx

m

Am 1x

m 1

нем

характеристи-

Pm

... A1x A0

Pm x

ческого уравнения

0 является корнем

характеристическо-

~

го уравнения пер-

xPm x

вой кратности

a не является кор-

нем

характеристи-

Aeax

ческого уравнения

ceax

a является корнем

характеристическо-

Axseax

го уравнения крат-

ности s.

i не являют-

ся корнями ха-

Acos x Bsin x

рактеристическо-

acos x, bsin x,

го уравнения

acos x bsin x

i

являются

корнями характе-

ристического

x(Acos x Bsin x)

уравнения первой

кратности

i

не явля-

x

~

~

ются

корнями

e

Ps x cos x Qs x sin x ,

характеристиче-

где s max m,n

ского уравнения

e x P x cos x Q x sin x

i

являются

n

m

корнями характе-

x

~

~

ристического

xe

Ps

x cos x Qs x sin x ,

где s max m,n

уравнения первой

кратности

ОДУ

y py qy

f x

Общее решение однородного ОДУ

y C1y1 x C2y2 x

y py qy 0

Общее решение неоднородного ОДУ

y C1 x y1 x C2 x y2 x

Система для нахождения C1 x ,

C x y x C

x y

2

x 0,

C2 x

1

1

2

C1 x y1 x C2 x y2 x f x

2.

Пусть характеристическое уравнение имеет

-

один действитель-

ный корень второй кратности.

Будем искать решение данной системы в виде

y

C x C

2

e x ,

1

1

y

2

C x C e x

. Подставив данные решения в одно из уравнений системы,

3

4

исключаем две произвольные постоянные.

3. Пусть характеристическое уравнение имеет 1,

2 - два комплекс-

ных сопряженных корня.

Решив систему A

, находим соответствующие собственные век-

тора 1

и

2.

Получаем

комплексную фундаментальную

систему

решений: