Материал: Справочные материалы по теории дифференциальных и разностных уравнений (90

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

1 Обыкновенные дифференциальные уравнения

1.1 Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных

уравнений

Определение. Обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ)

первого порядка называется уравнение вида F x, y, y 0.

Замечание. ОДУ первого порядка обязательно в явном виде содержит y и может не содержать в явном виде x или/и y.

у f x, y - нормальный вид ОДУ первого порядка.

Таблица 1 - Решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка

	Определение. Непрерывно дифференцируемую функцию	y y x будем назы-
Решение	вать решением ОДУ первого порядка на промежутке I ,	если при подстановке
	функции y y x в ОДУ получается верное тождество на I .

	Определение. Пусть y x,C - решение ОДУ пер-
	вого порядка, зависящее от произвольной постоянной C.
	Функция y x,C называется общим решением это-
Общее	го уравнения на области D R2, если:
решение	1) через каждую точку области D проходит единствен-
	ная интегральная кривая данного ОДУ;
	2) интегральные кривые y x,C целиком заполня-
	ют область D.

	Пусть y x,C - общее решение ОДУ первого по-
Частное	рядка. Если в общем решении мы вместо C подставим
решение	конкретное число, то получим частное решение данного
	ОДУ.

	6

Продолжение таблицы 1

Решение ОДУ первого порядка называется особым ре-

Особое

шением, если через каждую точку графика этого решения

решение

проходит более одной интегральной кривой.

Теорема Коши для ОДУ первого порядка. Пусть дана задача Коши

вида

y f x, y ,

y x0 y0.

Если функция	f x, y и ее частная производная fy x, y непрерывны в
некоторой окрестности точки		M0 x0, y0 , то тогда в некоторой окрестности
точки x x0 данная задача Коши имеет единственное решение.
Определение.	ОДУ	n-го порядка называется уравнение вида

Fx, y,y , y ,...,y n 0.

уn f x, y,y ,...,y n 1 - нормальный вид ОДУ n-го порядка.

Таблица 2 - Решения обыкновенного дифференциального уравнения n-

го порядка

		Определение. n раз непрерывно дифференцируемую функцию y y x бу-
	Решение	дем называть решением ОДУ n-го порядка на промежутке I , если при подста-
		новке функции y y x в ОДУ получается верное тождество на I .
	Общее	y x,C1,C2,...,Cn
	решение	y x,C1,C2,...,Cn
	Частное	Пусть y x,C1,C2,...,Cn - общее решение ОДУ n-го порядка. Подставив
	Частное	в общем решении вместо C1, C2 ,…, Cn конкретные числа, получим частное
	решение
		решение данного ОДУ.

Теорема Коши для ОДУ n-го порядка. Пусть дана задача Коши вида

y n f x, y, y ,...,y n 1 ,

y x0 y0,y x0 y1,

y x0 y2,

...........................

y n 1 x0 yn 1.

	Если функция f x,y0, y1,...,yn 1 и ее частные производные
fy	x, y0, y1,...,yn 1 i		непрерывны в некоторой окрестности точки
		0,n 1
i

M0 x0,y0, y1,...,yn 1 , тогда в некоторой окрестности точки x x0 данная за-

дача Коши имеет единственное решение.

1.2 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого поряд-

ка, разрешимые в квадратурах

Таблица 3 - Обыкновенные дифференциальные уравнения первого по-

рядка, разрешимые в квадратурах

Название	Вид ОДУ			Метод решения
ОДУ	Вид ОДУ			Метод решения
ОДУ
		Разделение переменных и после-
		дующее интегрирование.
	y f x g y	Общий интеграл:
	y f x g y		dy	f x dx C.
			dy
Уравнение с			g y
Уравнение с			g y
разделяю-		Возможна потеря решений.
щимися пе-		Разделение переменных и после-
ременными		дующее интегрирование.
	M x P y dx N x Q y dy 0	Общий интеграл:
	M x P y dx N x Q y dy 0		M x		Q y
				dx		dy C
			N x	dx	P y	dy C
			N x		P y
		Возможна потеря решений.

Продолжение таблицы 3

Замена

y ux

и разделение перемен-

y f x, y , если t 0 вы-

ных с последующим интегрированием.

Общий интеграл:

полняется

f tx,ty f x, y

f 1,u u

Возможна потеря решений.

Однородные

P x, y dx Q x,y dy 0,

где

Замена

y ux

и разделение перемен-

уравнения

P x, y и

Q x, y - однород-

ных с последующим интегрированием.

ные функции с одинаковой сте-

Общий интеграл:

Q 1,u

пенью однородности n, то есть

du C.

t 0

выполняется

P 1,u uQ 1,u

P tx,ty tnP x, y

Возможна потеря решений.

Q tx,ty tnQ x, y .

Уравнение в

P x, y dx Q x,y dy 0,

u x, y P x, y dx C1 y ,

полных диф-

где

u x, y Q x, y dy C2 x .

ференциалах

Общий интеграл: u x, y C.

Линейное

Подстановка y uv.

уравнение

y p x y q x

Общий интеграл:

первого по-

p x dx

рядка

y q x e

dx C e

y p x y q x ya

Сведение к уравнению с разделяющи-

Уравнение

мися

переменными

подстановкой

Бернулли

a 0, a 1 .

y uv.

Возможна потеря решений.

Замена

p y , нахождение производ-

Уравнение

ной от обеих частей уравнения.

y xy y

Общее решение:

y Cx C .

Клеро

p 0,

Особое решение:

y xp p .

1.3 Уравнения, допускающие понижения порядка

Таблица 4 - Уравнения, допускающие понижения порядка

Вид ОДУ			Метод решения

y n f x			Последовательно проинтегрировать n раз
F x, y m , y m 1 ,...,y n 0		1 m n	Замена z y m

			Замена		p y , где p - функция от y,
F y, y , y	0		y
				p p

1.4 Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения вто-

рого порядка с постоянными коэффициентами

Таблица 5 – Общее решение однородного обыкновенного дифференци-

ального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

ОДУ

y py qy 0

Характери-

стическое

2 p q 0

уравнение

Корни

Два простых действи-

Один

действитель-

Два комплексно сопряжен-

тельных корня

ный

корень

второй

ных корня

1, 2

кратности

1,2 i

Общее реше-

y C e 1x

e 2x

y C x C

e x

y e

C1 cos x C2 sin

ние

Источник: https://studfile.net/preview/16723593/

Смотрите также:


ЦЕНОВАЯ ПОЛИТИКА ПРЕДПРИЯТИЯ НА ПРИМЕРЕ ООО «ДНС РИТЕЙЛ»
_archivetempпротивовоспалительные
- Обратный порядок следования фаз 4
- Сопротивление изоляции 25
!_Лабораторные_работы_1_сем_ОУТС
!Контрольная работа (задание)
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Electronics Workbench' – алгоритм инструмента моделирования электронных схем
'Новая экономика': российская специфика