Материал: Шилов Лабораторный практикум курса обсчей физики Разделы 2012
где a(t) = a0e−βt – амплитуда колебаний в момент времени t (a0 = a(0)); β – коэффициент затухания; α – начальная фаза коле-
бания; ω′ – частота свободных затухающих колебаний системы, связанная с ее собственной частотой ω0 (частотой колебаний в отсутствие трения) соотношением
′ |
2 |
2 |
(2.2.2) |
ω = |
ω0 |
−β . |
Формулы (2.2.1) и (2.2.2) предполагают, что ω0 > β. Если силы трения столь велики, что β ≥ ω0, система не способна совершать колебания, ее движение носит апериодический характер. При ма-
лом затухании, когда β << ω0 и ω′≈ω, связь (2.2.2) между частотами и коэффициентом затухания может быть переписана в виде
ω −ω′ |
≈ |
β2 |
β2 |
2 . |
(2.2.3) |
||
′ |
′2 ≈ |
|
|||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
2ω |
|
2ω |
|
|
|
Колебания вида (2.2.1) не являются гармоническими, так как их амплитуда (a(t) = a0e−βt ) зависит от времени. Для создания незату-
хающих гармонических колебаний в системе с трением требуется подвод энергии извне для компенсации ее потерь за счет трения. Это можно осуществить, действуя на систему гармонической внешней – вынуждающей – силой
Fx = F0 cos(ωt), |
(2.2.4) |
где F0 – амплитуда и ω – частота вынуждающей силы.
Движение системы под действием вынуждающей силы (2.2.4) является суперпозицией свободного затухающего колебания вида (2.2.1) и установившегося (вынужденного) гармонического колебания
xуст. вын = a(ω) cos(ωt −ϕ(ω)), |
(2.2.5) |
где a(ω) – амплитуда; ϕ(ω) – отставание по фазе установив-
шегося вынужденного колебания от вынуждающей силы. Если колебания линейны, например тело массой m, подвешенное на пру-
жинке, то зависимость амплитуды a(ω) и сдвига по фазе ϕ(ω) от частоты описывается следующими формулами:
21
a(ω) = |
F0 / m |
; |
(ω02 −ω2 )2 + 4β2ω2 |
tg(ϕ(ω))= 2βω .
ω20 −ω2
(2.2.6)
(2.2.7)
При крутильных колебаниях (например, в данной работе исследуются именно крутильные колебания маятника Поля) роль амплитуды вынуждающей силы играет амплитуда момента этой силы, а роль массы, соответственно, момент инерции тела совершающего крутильные колебания. При переходе от линейных (совершаемых вдоль некоторой прямой) колебаний к крутильным (вращательное движение) структура формул (2.2.6) и (2.2.7) не меняется, зависимость от частоты амплитуды и сдвига по фазе остается прежней.
Зависимости a и ϕ от ω для трех различных значений β (см. второй аргумент функций у левой вертикальной оси) показаны на рис. 2.2.1 и 2.2.2. Отметим, что показанные на рисунках кривые – результат расчета, так что масштаб и форма кривых полностью соблюдены.
На рис. 2.2.1 первый аргумент амплитуды a(Ω, B, Fmax ): Ω = ω
ω0 − частота вынуждающей силы в единицах собственной частоты ω0 ; второй аргумент: B =β
ω0 – коэффициент затухания в тех же единицах; третий аргумент: Fmax = F0
(mω02 ) – приведенная
амплитуда вынуждающей силы (момента сил для крутильных колебаний).
На рис. 2.2.2 даны зависимости сдвига (деленного для наглядности на π) по фазе ϕ установившегося вынужденного колебания от вынуждающей силы при различных значениях коэффициента затухания. Остальные обозначения на рисунке такие же, как и на рис. 2.2.1.
Продифференцировав (2.2.6) по частоте и приравняв производную нулю, легко показать, что амплитуда установившегося вынуж-
денного колебания a(ω) достигает максимального значения при
22
равенстве частоты вынуждающей силы ω резонансной частоте сис- |
|||||||||
темы β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ωрез = |
′2 |
−β |
2 |
= |
2 |
2 |
. |
(2.2.8) |
|
ω |
|
ω0 −2β |
|
|||||
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a(Ω ,0.1 ,5) 20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a(Ω ,0.3 ,5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a(Ω ,0.5 ,5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0.5 |
|
|
1 |
|
1.5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Ω |
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.2.1 |
|
|
|
|
||
Отметим еще раз, что при β << ω как резонансная частота, так и |
|||||||||
частота свободных затухающий колебаний, обе приближенно |
|||||||||
равны собственной частоте системы (см. также (2.2.3)): |
|
||||||||
ωрез ≈ω0 (1−β2 / ω02 ), ω′ ≈ ω0 (1−β2 / (2ω02 )).
Явление, состоящее в резком увеличении амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к строго определенному для каждой физической системы (резонанс
ному) значению (ωрез = ω02 −2β2 ), называется резонансом.
Видно, что резонансная частота меньше собственной, собственной частоте на оси абсцисс соответствует единица.
23
1 |
|
|
|
|
ϕ (Ω ,0.1 ,5) 0.8 |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
ϕ (Ω ,0.3 ,5) 0.6 |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
ϕ (Ω ,0.5 ,5) 0.4 |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
0.2 |
|
|
|
|
00 |
0.5 |
1 |
1.5 |
2 |
|
|
Ω |
|
|
|
Рис. 2.2.2 |
|
|
|
Как видно из рис. 2.2.1 (верхняя сплошная кривая), при малом |
||||
затухании (β << ω0 ) амплитуда в момент резонанса |
|
|||
|
aрез ≡ a(ωрез )≈ F0 |
(2mβ) 1 β |
|
|
может достигать весьма большой величины. В некоторых случаях резонансное возрастание амплитуды колебаний способно привести к разрушению колеблющейся системы (мост, ротор турбины и т.п.).
Как видно из формулы (2.2.7) (см. также рис. 2.2.2), при малых частотах вынуждающей силы (βω << ω02 ) система колеблется синфазно (ϕ <<1) с вынуждающей силой, при больших частотах (ω >> ω0 ) колебания совершаются в противофазе (ϕ≈ π); при ω = ω0 точно. В окрестности резонанса (ω ≈ ωрез), если, кроме того, мало затухание (β << ω0 ), то ϕ ≈ π/ 2 приближенно.
Отметим, что колебание вида (2.2.5) называют установившимся, так как система колеблется по этому закону лишь по прошествии достаточно большого времени, а именно: t 1
β , от момента
24
включения вынуждающей силы, когда амплитуда свободного затухающего колебания уже пренебрежимо мала по сравнению с амплитудой установившегося колебания, т.е. выполняется неравенст-
во: a0exp( −βt) << a(ω). При временах t ≤1/ β идет процесс установления колебаний, в течение которого амплитуда постепенно (вовсе необязательно монотонно) приближается к значению a(ω).
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
В данной работе исследование механических колебаний производится с помощью маятника Поля. Установка показана на рис. 2.2.3.
Рис. 2.2.3
Маятник Поля представляет собой металлический диск 3, совершающий крутильные колебания вокруг горизонтальной оси под действием спиральной пружины. Одним концом пружина жестко
25