Материал: Пустынский Л.Н. Конспект лекций по Ядерной физике
a = |
A(m) |
= |
N (t) |
= |
|
= |
ln2 |
|
||||
m |
M |
|
N (t) |
M |
|
T |
M |
|
||||
|
|
ат |
|
ат |
|
ат |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1/ 2 |
|
|||
,(3.2.14)
т.е. удельная активность нуклида не зависит от времени.
Для определения (а, следовательно, и Т1/2) можно использовать формулу (3.2.12), если в некоторый произвольный момент времени измерить активность препарата и число радиоактивных ядер. Этим методом удобно пользоваться, когда период полураспада достаточно велик, и поэтому изменением числа радиоактивных ядер за время измерения активности можно пренебречь. Если период полураспада Т1/2 не очень велик, то можно непосредственно снять кривую изменения активности через определенные интервалы времени. Затем по полученным значениям строят график зависимости натурального логарифма активности от времени. Постоянную распада удобно находить, если записать (3.2.13) в виде:
y(t) 0
-0,5
-1,0
-1,5 |
0,5 |
1,0 |
1,5 |
2,0 t/T1/2 |
|
Рис. 3.2.1
y(t) = ln |
A |
= −λt. |
|
A |
|||
|
|
||
|
0 |
|
(3.2.15)
Зависимость (3.2.15) представляет собой прямую, а определяется по тангенсу угла наклона этой прямой (рис. 3.2.1) или непосред-
91
ственно по уменьшению активности вдвое. В реальных условиях экспериментальные точки имеют неизбежный разброс, определяемый статистической природой процесса радиоактивного распада. Для проведения через такие точки наиболее достоверной прямой обычно используют метод наименьших квадратов, в результате чего среднеквадратичное отклонение точек от найденной прямой будет минимальным.
Весьма распространенными являются случаи распада радиоактивных ядер с образованием не только стабильных, но и радиоактивных дочерних ядер. В последнем случае возникают цепочки распадов. Примером таких цепочек могут служить рассмотренные выше радиоактивные семейства. Баланс числа радиоактивных ядер при этом определяется следующими уравнениями:
|
|
dN |
1 |
= − N |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dN |
2 |
= − |
|
N |
|
|
+ N |
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
1 |
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
dN |
3 |
= − |
|
N |
|
|
+ |
|
N |
|
||||
|
3 |
3 |
2 |
2 |
||||||||||
dt |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. . . . . . . . . . . . .
(3.2.16)
где индекс 1 относится к первичным материнским ядрам, а индексы 2, 3, . . . – к дочерним. Распад ядер N1 описывается обычным законом распада (3.2.7). Баланс ядер каждого дочернего вещества определяется скоростью собственного распада (активностью) и скоростью рождения, равной скорости распада ядер-предшественников. Решение каждого уравнения (3.2.16) зависит только от вида решения предшествующего. В простейшем случае, когда в начальный момент времени дочерних ядер нет, а количество материнских ядер равно N10, решение каждого k-го уравнения из (3.2.16) имеет вид:
92
|
|
|
|
k −1 |
|
|
k |
− |
t |
|
λ j |
|
|
|
j =1 |
|
|
|||
N k (t) = N01 Ci e |
|
|
|
|||
i |
|
; Ci = |
|
, |
j i . |
|
|
|
k |
||||
i =1 |
|
|
|
(λ j − λi ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j =1 |
|
|
(3.2.17)
Полное число радиоактивных ядер есть сумма всех количеств ядер Nk, существующих в данный момент времени.
Из общего решения (3.2.17) получаем решение для N2(t):
N |
|
( t ) = |
λ1 N10 |
|
−λ1 t |
− e |
−λ 2 t |
|
|||
2 |
|
|
|
|
e |
|
. |
(3.2.18) |
|||
|
|
λ |
|
− λ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из (3.2.18) следует, что в момент времени |
|
||||||||||
|
|
ln(λ |
1 |
/λ |
2 |
) |
|
|
t m |
= |
|
|
|
, |
(3.2.19) |
||
λ |
|
− λ |
|
|||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
количество ядер N2 достигает своей максимальной величины
|
|
|
|
λ1N10 |
|
|
|
−λ |
t |
|
|
|
−λ |
2 |
t |
|
|
||
(N |
|
) |
= |
|
e |
1 m |
− e |
|
m |
, |
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
m |
|
λ 2 − λ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
а затем монотонно убывает. Если 1 |
<< 2 (или (Т1/2 )1 |
||||||||||||||||||
t » (Т1/2 )2, то из (3.2.18) в пределе t → ∞ получаем |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
N |
2 |
|
2 |
= N |
|
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
(3.2.20)
>> (Т1/2 )2) и
(3.2.21)
т.е. устанавливается динамическое равновесие между активностью материнского и дочернего препаратов, которое называется вековым равновесием. Вековое равновесие широко используется для определения периодов полураспада долгоживущих материнских нуклидов по известным значениям 2 и отношению N2/ N1. Очевидно, что при выполнении соответствующих условий вековое равновесие может наступать для любой пары соседних элементов в цепочке распадов.
Другой предельный случай 1 >> 2 (или (Т1/2 )1 << (Т1/2 )2) при t » (Т1/2 )1 дает зависимость
N |
2 |
(t) |
|
|
N10
e |
− |
2 |
t |
|
|
||
|
93 |
||
,
(3.2.22)
которая фактически является кривой распада дочернего вещества.
§3.3. Активация
Активация – процесс получение из стабильных ядер радиоактивных ядер - представляет ядерную реакцию, рассмотрению которых посвящена глава 4. Выше было указано, что по физической природе искусственные радиоактивные ядра ничем не отличаются от естественных, так как свойства ядер данного радиоактивного нуклида не зависят от способа его образования. Рассмотрим основные закономерности процесса активации.
Пусть q(t) – скорость образования новых радиоактивных ядер, или количество радиоактивных ядер, образующихся в единицу времени. Тогда скорость изменения числа образующихся радиоактивных ядер за время dt составит
где
λN
(t
dN |
= q (t ) − λN (t ), |
(3.3.1) |
|
dt |
|||
|
|||
|
|
||
) - скорость распада (активность) образующихся ядер. Если |
|||
принять, что скорость образования от времени, то решение (3.3.1) с имеет вид:
N(t) = |
q |
(1 |
− e |
|
λ |
||||
|
|
|
q(t) = q – постоянна и не зависит начальным условием N(t = 0) = 0
−λt |
(3.3.2) |
). |
Умножив (3.3.2) слева и справа на постоянную распада λ полу-
чим, учитывая (3.2.12), наведенную активность вещества: |
|
A ( t ) = q (1 − e −λt ). |
(3.3.2) |
На рис. 3.3.1 показана эта функция, построенная в относительных единицах. Из рисунка видно, что уже при t = 4Т1/2 наведенная актив-
А(ξ)/q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ность составляет около |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
95 % от предельного зна- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,75 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
94 |
||
0,50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А(ξ)/q =(1- e-ξln2), |
|
|
||||||
0,25 |
|
|
|
|
|
ξ = t/T1/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
ξ |
||||||
|
|
|
|
Рис. 3.3.1 |
|
|
|
|
|||
Предельная или максимально достижимая активность получаемого вещества при t → ∞ не зависит, как следует из (3.3.2), от постоянной распада λ, а равняется скорости q образования радиоактивных ядер. Однако время достижения предельной активности зависит от величины λ и при уменьшении величины λ требуется большее время достижения активности насыщения и наоборот. После прекращения активации происходит только процесс распада образовавшегося вещества в соответствии с (3.2.7) или (3.2.13).
В ядерном реакторе под действием нейтронов происходит активация корпуса реактора, деталей конструкции, а также теплоноситель. Вода активируется слабо и заметный вклад в активность водного теплоносителя дает активация продуктов коррозии трубопроводов. В реакторах на быстрых нейтронах сильной активации подвергается натрий, который используется в качестве теплоносителя. Эта наведенная активность, наряду с радиоактивностью продуктов деления, является серьезным фактором, влияющим на экологические и экономические показатели АЭС.
§3.4. Альфа – распад
Альфа-распадом ( -распадом) называется процесс спонтанного изменения ядра, в результате которого возникает свободная -
частица (ядро нуклида |
4 |
2 He ) и дочернее ядро, имеющее в своем |
составе меньше на 4 нуклона и 2 протона, чем материнское. Символическая запись -распада имеет вид:
(A, Z) → (A − 4, Z − 2) + (4, 2). |
(3.4.1) |
|
-Распад характерен для тяжелых нуклидов, у ядер которых с ростом массового числа А наблюдается уменьшение удельной энергии связи (см. рис. 1.4.2). В этой области уменьшение числа нуклонов в ядре ведет к увеличению удельной энергии связи. Но при уменьшении массового числа на единицу увеличение энергии связи оказыва-
95