Документ: Переходные процессы и спектры. Матвеев Б.В, страницы 26-30

2. Комплексно-сопряженные корни. Такие корни полу-

чаются

из

уравнения

(1.12)

p

2 2

,

когда

1,2

0

0.

После подстановки значений и 0

получаем,

что

R

1

, R 2

L

, R 2 , т.е. выражение R 2 явля-

2L

LC

p1,2

j св ,

ется

условием

получения

двух

корней

где

св

02 2

- частота свободных колебаний (см.1.12). Ток в

этом случае определяется уравнением i A ep1t

A ep2t ,

как и

в предыдущем примере и соответственно

1

2

A1

E

,

A2

E

.

L p p

2

L p p

2

1

Подставляя новые значения корней, получаем

A

E

,

L p p

L j

j

jL 2

1

2

св

1

A

E

.

L p1

p2

2

jL2 св

Значение

тока

определяется

из

выражения

i A ep1t

A ep2t ,

после подстановки в него величин A ,

A ,

1

2

1

2

p1 и p2 , т.е.

ep1t ep2t

i

E

ep1t

E

ep2t =

E

jL2 св

E

e j св t

E

e t

ej свt

e j свt

j2

jL2 св

свL

E

e

t

sin свt , т.к.

ej свt e j свt

sin свt .

j2

свL

25

Таким образом, получаем, что

E

t

i

e

sin свt I0me

sin свt Im

t cos

свt

, так

свL

2

t Ee t / свL

E

e t

t

что Im

I0me

,

(1.17)

свL

где 1 2L.

R

Как видно из (1.17), ток представляет собой затухающую гармоническую функцию времени (рис. 1.11).

I0m	E	i
		I

свL		1m

I2m

t1

t

E

t1+T0

I0m

T0

L

св

Рис. 1.11. График тока при комплексно-сопряженных

корнях (R 2 )

Амплитуда огибающей тока i

равна

Im t I0me

t

(1.18)

t

и убывает по закону e

.

Скорость убывания амплитуды колебаний тем больше, чем меньше постоянная времени . Если в (1.18) вместо t подставить , то получим, что

26

Im	I0m	I0m	0,37I	0m.	(1.19)
		2,718
	e

Следовательно, из (1.19) можно сделать вывод, что постоянная времени контура численно равна времени, в течение которого амплитуда свободных колебаний уменьшается на 63 % от своего начального значения.

Для характеристики скорости процесса затухания свободных колебаний кроме постоянной времени используют еще логарифмический декремент затухания , который определяется как натуральный логарифм отношения тока I1m в ка-

кой-то момент времени t1 к амплитуде тока I2m

через период

свободных колебаний T0,

т.е.

t1

t1 To

t

t T

I1m

I0me

1

0

ln

lne

t

T

I2m

1

0

I0me

T0

T

lne

0

.

(1.20)

Умножив числитель и знаменатель дроби (1.20) на 2Im2

с учетом значения 2L/Rполучим, что

T 2I

2

T R 2I2

I2

R T

2

1

W

0

1m

0

1m

0

W

R

,

2

WL

2I1m

2L 2I1m

LI1m

т.е. логарифмический декремент затухания показывает, какая часть энергии, имеющаяся в контуре в данный момент времени t1 WL расходуется в течение ближайшего полупериода свободных колебаний T0 /2 на активном сопротивлении по-

терь контура R , на котором выделяется энергия WR.

Через параметры колебательного контура величина

определяется, если учесть, что T0 2 LC и 2LR, т.е.

27

T0

2 LC R

R

.

2L

3. Случай кратных корней. Такие корни возникают, ко-

гда

в выражении (1.12)

p

2

0

и

1,2

0

p

, что

возможно,

когда

R

1

,

R 2

L

,

1,2

2L

LC

R 2 . Отсюда общее решение берется по выражению из п.1.2, т.е.

yсв A1 A2t A3t2 Antn 1 ePкt

и может быть записано при наличии двух кратных корней как i iсв A1 A2t e t . (1.21)

Порядок определения i такой же, как и при двух действительных разных корнях. Начальные условия те же, т.е.

iL 0	iL 0	0, а	di	E	.

			dt L

Постоянные интегрирования находятся аналогично. Для этого в выражении (1.21), исходя из начальных условий, бе-

рется i 0, t

0

и тогда 0 A1

A2

0 1 и далее

A1 0.

Из условия

di

E

находим,

A , используя выражение

dt

L

2

(1.21) для i, т.е.

E

A1e t A2te t

,

L

E

t

A1 e

A2 t e

e

t

.

L

Ввиду того, что A1 0, получаем

t

E

A2 t e

A2 e

t

,

L

A e t

A e tt

E

.

2

L

28

	Далее принимаем				во внимание,				что t	0и тогда
A	E	. С учетом (1.21) и значений A и							A ,ток	i определя-
A		. С учетом (1.21) и значений A и							A ,ток	i определя-
2	L					1			2
ется выражением							E
		i i	св	A	A t e t		E	te t .		(1.22)
		i i		A	A t e t			te t .		(1.22)
				1	2		L
							L

Исходя из (1.22) видно, что при одинаковых (кратных) корнях переходный процесс в цепи имеет апериодический характер, как и при различных вещественных корнях. График переходного процесса показан на рис. 1.12, при R 2 .

i

R<2

R=2	R >2Ρ
Ρ	R >2Ρ
0	t

Рис. 1. 12. Графики тока при разных корнях

Режим работы цепи для кратных корней при условии R 2 является критическим. Протекание тока в цепи осуществляется на границе между колебательным R 2 и апериодическим R 2 режимами.

1.4.Операторный метод анализа переходных процессов

1.4.1.Сущность операторного метода и его преимущества

Классический метод анализа переходных процессов применяют в основном тогда, когда исследуемая цепь имеет невысокий порядок сложности. Это связано, прежде всего, с тем, что в цепях с высоким порядком сложности требуется

29

Материал: Переходные процессы и спектры. Матвеев Б.В

Смотрите также: