Материал: Переходные процессы и спектры. Матвеев Б.В

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

1.3. Переходные процессы в линейных цепях второго порядка сложности

Линейной цепью второго порядка сложности называется цепь, содержащая два независимых реактивных элемента.

Наиболее распространенными цепями второго порядка сложности являются цепи, содержащие R, L и С элементы, соединенные последовательно или параллельно.

Процессы в таких цепях описываются дифференциальным уравнением второго порядка, т.е.

a		d2 y	a	dy	a		y f t .
	2 dt2
			1 dt			0

Если в цепях первого порядка свободные процессы описываются только экспоненциальными функциями времени, то в цепях второго порядка сложности возможны кроме этого и колебательные затухающие процессы, вызванные наличием резонансных контуров.

Рассмотрим пример определения переходного процесса после подключения к последовательной RLC цепи (рис. 1.9) источника постоянного напряжения Е

0приt 0 e t

E const приt 0.

Рис. 1.9. График входного воздействия (а) и схема цепи (б)

Порядок расчета переходного процесса такой же как и для цепи первого порядка, однако, существуют свои особенности.

Так как последовательная RLC цепь содержит два независимо включенных реактивных элемента, то процессы в ней описываются дифференциальным уравнением второго порядка, а для определения двух постоянных интегрирования Ai

необходимо задать два независимых начальных условия вместо одного.

Для такой цепи независимыми начальными условиями будут:

iL (0 ) i 0 0, uc 0 uc 0 0.

Далее поступаем следующим образом.

uL uR uC e t

Используя,

второй

закон

Кирхгофа

и компонентные уравнения uL

idt,

составим

уравнение электрического равновесия в виде

idt E.

(1.10)

Дифференцируя правую и левую части (1.10), получаем

уравнение процессов в цепи после коммутации

d2i

i 0.

(1.11)

Характеристическое уравнение в соответствии с (1.11)

записанное в виде

Lp2 Rp 1/C 0,

или

0имеет два

корня, т.е.

p1,2

0 ,

(1.12)


где	R	- коэффициент затухания, 0					1	- резонансная
где		- коэффициент затухания, 0						- резонансная
	2L						LC
частота цепи.				p1 и p2
Полученные			корни	p1 и p2	уравнения			(1.11) могут
быть вещественными различными					2	02 ,		комплексно-
сопря-женными 2			02	или вещественными одинаковыми

02 , что следует из их определения (1.12). Каждому ви-

ду корней будет соответствовать свой переходной процесс.

Рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности.

1. Вещественные различные корни. Это может произой-

ти,

когда

подкоренном выражении

(1.12)

0 ,

или

R 2

R 2 ,

, Q

что

соответствует низкой

величине

добротности

это

имеет место при R 2 .

В этом случае в соответствии с (1.5) ток ищется в виде

i i

св

A ep1t A ep2t.

(1.13)

Для определения iнеобходимо, прежде всего, найти по-

стоянные интегрирования

A1 и A2 . Для этого следует сперва

определить начальные значения тока iв цепи и его

первой

производной по

времени,

т.к. дифференциальное уравнение

idt E содержит первую производную от i

цепи L

и ток i.

Начальное значение тока цепи совпадает с начальным значением тока индуктивности, т.е. i 0 i 0 0.

Начальное значение первой производной тока цепи может быть найдено из уравнения

	di	1		t
				idt E
L		R i
	dt		c
				0
с использованием независимого				начального условия

i 0 i 0 0, и соответствующей его подстановки в него,

	di	1		t
	di	1		0dt E , что приводит к результату
т.е. L		R 0
т.е. L	dt	R 0	c
				0	di	E
					di	E	(1.14)
							(1.14)
					dt L

при t 0 , т.е. в момент времени сразу после коммутации. Постоянные интегрирования найдем из уравнения (1.13)

i A ep1t A ep2t , приравняв левую его часть нулю и приняв
1	2
t 0.	При этих условиях получим, что A1 A2	0 и это будет

первым уравнением для их определения. Второе уравнение получим, взяв первую производную от тока i (1.13) и прирав-

няв ее значение к величине E из (1.14), т.е.

	L			E
p A ep1t p		2	A ep2t	E	.
p A ep1t p			A ep2t		.
1	1		2	L
				L

При t 0 второе уравнение приводится к виду

E p1A1 p2 A2 L .

Осуществляя преобразования полученных двух уравне-

ний

A		A	0
	1	2			E
p		A p		A	E	,
p		A p		A		,
	1	1		2 2	L
					L

определяем значения A и A , т.е. A A ,										p A		p		A		E			,
определяем значения A и A , т.е. A A ,										p A		p		A					,
				1	2		1		2	1	1		2	1			L
A A ,		A p p			E	, A	E		, A					E				.
A A ,		A p p				, A	L p p		, A			L p p						.
2	1	1 1	2		L 1		L p p	2		2		L p p			2
							1	2					1		2

		Подставляя					значения			p			2 2	и
										1			0
p	2		2 2			в A и A , получим, что
	2			0			1		2
		A1			E			,	A2		E	.		(1.15)

										2L 2 02
				2L 2 02						2L 2 02

После подстановки значений (1.15) в выражение для то-

ка (1.13)

i A ep1t

A ep2t

имеем, что

ep1t

ep2t

(1.16)

2L 2 02

Исходя из (1.16) график тока (рис. 1.10) состоит из раз-

ности двух экспоненциальных токов i1 и i2 , но так как p1 p2 (см.(1.12)), то результирующий ток на графике идет

вверх. Переходной процесс в этом случае называется апериодическим и возникает при условии R 2 .

Рис. 1.10. График тока при апериодическом процессе (R 2 )

Источник: https://studfile.net/preview/16563501/

Смотрите также:


«Характеристика объектов коммерческой деятельности в торговле»
[ТЕСТЫ] по гистологии IMK №2
# Вопрос Ответ
05_линейная регрессия
10 - Хранилища данных
1222
1253
1310
1352