Материал: Переходные процессы и спектры. Матвеев Б.В

Рис. 1.1. Схема цепи до преобразований

следует объединить в одну эквивалентную емкость Сэкв элементы С2 и С3, т.е. получить более простую схему (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Схема после преобразования

Снижает порядок сложности цепи и наличие в ней так называемых емкостных контуров. Это контуры, образованные либо только емкостями, либо емкостями совместно с независимым источником напряжения. Так на рис. 1.2 – это контур, образованный элементами С1, Сэкв и e t , как показано пунктирной линией на рис. 1.3.

10

Рис. 1.3. Емкостный контур цепи

Таким образом, из предполагаемой сложности цепи = 3 в соответствии с рис. 1.3, после преобразований остается сложность цепи = 1, которая получается с учетом объединения элементов С2 и С3 и наличия одного емкостного контура, состоящего из С1, Сэкв, е(t).

Уменьшает порядок сложности цепи и наличие в цепи, так называемых индуктивных сечений. Индуктивное сечение – это индуктивный узел, т.е. узел к которому подключены ветви, в каждой из которых есть только индуктивные элементы или индуктивности с другими элементами R и С или источниками тока i(t). На рис. 1.4 представлен такой узел (индуктивное сечение), обозначенное пунктирной линией.

Рис. 1.4. Индуктивное сечение

11

На рис. 1.5 показано индуктивное сечение с элементами L1, L2, L3 и источником тока i(t), объединенных в один узел.

Рис. 1.5. Индуктивное сечение из параллельных ветвей

Таким образом, порядок сложности линейной цепи, составленной только из идеализированных пассивных элементов и независимых источников тока или напряжения

PLC neк quc,

где PLC - общее число реактивных элементов; neк - число неза-

висимых емкостных контуров; quc - число независимых индук-

тивных сечений. Это возможно в связи с тем, что в емкостном контуре напряжение на любом из конденсаторов такого контура может быть выражено через напряжения других емкостей с помощью уравнения баланса потенциалов, составленного для данного емкостного контура. Для индуктивного сечения (узла) ток, а следовательно, и энергия любой из индуктивностей, входящей в индуктивное сечение, может быть выражена через токи других индуктивностей на основании уравнений баланса токов, составленных для данного сечения.

1.2. Классический метод анализа переходных процессов

Он основан на классическом методе решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Как известно, общее ре-

12

шение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

равно сумме частного решения этого уравнения и общего решения однородного дифференциального уравнения (правая часть равна нулю).

Общее решение однородного дифференциального уравнения характеризует так называемые свободные процессы в цепи, т.е. процессы после коммутации в отсутствие внешних источников энергии.

Таким образом, характер свободных процессов не зависит от вида внешнего воздействия на цепь, а определяется только параметрами ee пассивных элементов.

Частное решение уравнения (1.3) определяет принужденный режим работы цепи, т.е. режим, задаваемый действующими в цепи независимыми источниками энергии.

Следовательно, общее решение имеет вид y t yсв t yпр t .

Свободная составляющая реакции цепи с течением вре-

мени затухает lim yсв 0, поэтому принужденная составляю-

t

щая реакции цепи представляет собой установившееся значение искомого тока или напряжения после коммутации, т.е.

yпр lim y .

t

Для определения принужденной составляющей реакции цепи можно воспользоваться рассмотренными ранее методами анализа линейных цепей в установившемся режиме.

Если после коммутации токи всех независимых источников не изменяются, то с течением времени в цепи после коммутации установится режим постоянного тока.

13

Если после коммутации цепь находится под гармоническим воздействием, то принужденная составляющая также бу-

i 1

т.е. каждому корню соответствует слагаемое свободной составляющей вида

где Ai - постоянная интегрирования.

Если какой-либо корень рк характеристического уравнения (1.4) имеет кратность (корни одинаковые) n, то этому корню соответствует слагаемое свободной составляющей вида

yсв(k) (A1 A2t A3t2 Antn 1)epkt .

1.2.1. Общая схема применения классического метода анализа переходных процессов для цепей первого порядка

Схема состоит из следующих процедур, которые далее конкретно раскрываются на примере RC цепи (рис.1.6).

1. Анализ цепи до коммутации. В результате этого ана-

лиза определяют токи индуктивностей и напряжения емкостей в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации t 0 .

14