Материал: Переходные процессы и спектры. Матвеев Б.В

2. Определение независимых начальных условий. Неза-

висимые начальные условия представляют собой токи индуктивностей и напряжения емкостей в момент времени (t 0 ). Независимые начальные условия находят с помощью законов коммутации.

3. Составление дифференциального уравнения цепи по-

сле коммутации (при t 0). Дифференциальное уравнение цепи составляют используя компонентные уравнения для индук-

4.Анализ установившегося процесса в цепи после ком-

мутации (при t ). В результате анализа установившегося процесса в цепи после коммутации находят принужденную составляющую реакции цепи (частное решение дифференциального уравнения цепи).

5.Определение свободной составляющей реакции цепи.

На этом этапе составляют характеристическое уравнение цепи, находят его корни и определяют общий вид свободной составляющей реакции цепи.

6.Нахождение общего вида реакции цепи. Общий вид реакции цепи (общее решение дифференциального уравнения цепи) находят путем суммирования свободной и принужденной составляющих реакции цепи.

7.Определение постоянных интегрирования ( Ai ). По-

стоянные интегрирования определяются путем подстановки в общее решение значений токов или напряжений в начальный момент времени после коммутации при t 0.

8. Определение реакции цепи, соответствующей задан-

ным начальным условиям. Подставляя найденные постоянные интегрирования в общее решение дифференциального уравнения цепи после коммутации, находят его частное решение.

15

Пример 1.1. Определить переходной процесс в последовательной RC - цепи (рис. 1.6), на которую воздействует напряжение e t

Рис. 1.6. Последовательная RC цепь с графиком входного воздействия

Используя предыдущие рекомендации, выполняем следующие процедуры для определения напряжения uc t .

1. Анализ цепи до коммутации. Очевидно, что в момент времени, непосредственно предшествовавший коммутации напряжения на емкости равнялось напряжению на зажимах источника энергии при t < 0, т.е. uC 0 E1.

2. Определение независимых начальных условий. Неза-

висимое начальное условие выражается в виде

uC 0 uC 0 E1

Это единственное независимое начальное условие для схемы рис. 1.6.

3. Составление дифференциального уравнения после коммутации. Второй закон Кирхгофа для схемы рис. 1.6 запи-

16

Компонентное уравнение для этого случая берется в ви-

де ic C duC . Подставляя его в (1.7), и используя зависимость dt

uR icR,получаем дифференциальное уравнение

4. Анализ установившегося процесса в цепи после ком-

мутации при t . Для этого определяется принужденная составляющая процесса.

После коммутации в цепи (рис.1.6) при t получаем, что

uспр E2,

что соответствует заряду конденсатора С до напряжения Е2.

ществляется через суммирование принужденного и свободного режимов цепи, т.е.

A1 E1 E2 .

17

8. Определение реакции цепи, соответствующей задан-

ным начальным условиям. Подставляя найденную постоянную

График переходного процесса в соответствии с (1.9) показан на рис. 1.7.

1.2.2. Составление дифференциальных уравнений для разветвленных цепей

В том случае, когда электрическая цепь состоит из нескольких контуров, следует использовать для составления дифференциального уравнения цепи кроме закона Ома еще и законы Кирхгофа, учитывающие прохождение токов в контурах схемы.

Рассмотрим пример цепи первого порядка состоящей из двух контуров (рис. 1.8).

Система уравнений для этого случая будет иметь следующий вид

i1 R R i2R uвхi2R uL i1R 0.

18

Рис. 1.8. Электрическая цепь из двух контуров

Будем учитывать для решения системы уравнений также зависимость между током и напряжением на индуктивности, т.е. uL Ldi2 /dt.Подставляя это выражение во второе уравнение, получим, что

i2R L di2 i1R 0. dt

Определив ток i1 из первого уравнения, т.е.

i1 uвх i2R , 2R

и подставив его во второе уравнение, получим зависимость

Осуществляя дальнейшие преобразования, получим, что

2i2R 2L di2 uвх i2R 0, dt

2L di2 Ri2 uвх. dt

Последнее выражение и является дифференциальным уравнением цепи (рис. 1.8), составленным относительно тока i2.Его решение осуществляется по правилам представленным ранее в п.1.2.

19