Материал: Переходные процессы и спектры. Матвеев Б.В
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
S t |
|
|
|
|
An ejn t n 1 n 1 1 |
|
|||||
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
T |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
An ejn t n 1 . |
(5.19) |
||
|
|
2 |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
В выражении |
(5.19) |
величина n 1 n 1 n 1 1 |
|||||||||
представляет собой частотный интервал между составляющими ряда Фурье, равный частоте повторения 1 2 
T.
T
Далее, так как An 2 S t e jn tdt, то формула (5.19)
T
0
может быть записана в виде
S t 1 2
T
ejn t |
n 1 S t e jn tdt. |
(5.20) |
n |
0 |
|
По |
мере |
возрастания периода T в (5.20) интервал |
|||
n 1 |
n |
2 |
n 1 |
2 |
сокращается, и линейчатый спектр |
T |
|
||||
|
|
|
T |
||
все более сгущается (рис. 5.7).
Рис. 5.7. Сокращение интервала между составляющими спектра при увеличении периода T
130
При дальнейшем увеличении Т, когда |
T n , |
(т.е. спектр из дискретного превращается |
в сплошной), а |
n 1 d . |
|
T
Интеграл S t e jn tdt, стоящий под знаком суммы в
0
(5.20) при T принято называть спектральной функцией S j или спектральной плотностью и записывать в виде
|
|
|
S j |
S t e j tdt. |
(5.21) |
При неограниченном увеличении периода T операция суммирования в (5.20) превращается в операцию интегрирования по переменной в бесконечных пределах, т.е. теперь
|
1 |
|
|
|
S t |
S j e j td . |
(5.22) |
||
2 |
Полученное преобразование (5.22) называется обратным преобразованием Фурье функции S j (5.21), которая пред-
ставляет собой прямое преобразование Фурье функции S t . Формула (5.22) показывает, что непериодический сигнал
можно представить в виде суммы бесконечно большого числа гармонических колебаний с бесконечно малыми амплитудами, т.е. сплошным спектром.
При обратном преобразовании Фурье (5.22) интегрирование ведется по положительным и отрицательным частотам. Для прямого (5.21) и обратного (5.22) преобразований Фурье
применяют условные обозначения
S j F S t , S t F 1 S j ..
Спектральная функция S j является комплексной функцией частоты и может быть представлена в показательной форме
131
S j S e j s ,
где S - модуль спектральной функции, а s - аргумент
спектральной функции.
Выясним теперь физический смысл спектральной функции, S j , используя выражение для комплексной амплитуды
|
|
2 |
|
T |
|
|
|
An |
|
S t e jn tdt. |
(5.23) |
||
|
T |
|||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
При T амплитуда гармоник в (5.23) уменьшается и |
|||||
A |
dA. Коэффициент |
2 |
|
в (5.23) становится бесконечно ма- |
||
|
|
|||||
n |
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лым и его можно заменить дифференциалом частоты, т.е.
2 |
|
2 |
|
2 |
|
d |
. |
|
2 / |
2 |
|
||||
T |
|
|
|
||||
Величина, n . Таким образом, получаем, что
|
d |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
S t e |
j t |
dt |
|
j t |
dt |
|
|||
dA |
|
|
S t e |
|
d |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 S j d ,
или
|
S j |
|
|
dA |
|
d . |
(5.24) |
|
|||
Запишем выражение (5.24) в виде
dA e j |
1 |
S e j s d . |
(5.25) |
|
|||
|
|
|
|
Из (5.25), приравнивая модули и аргументы комплексного выражения получаем, что
dA |
1 |
S d , |
(5.26) |
|
|||
|
|
||
s . |
(5.27) |
||
132
Формулы (5.26) и (5.27) определяют что S - закон распределения амплитуд гармоник (огибающая), а s - закон
распределения начальных фаз гармоник в спектре непериодического сигнала. Выражение для спектральной функции из (5.26) можно представить в виде как
S |
dA |
|
dA |
|
1 |
|
dA |
. |
(5.28) |
|
d2 f |
|
|
||||||
|
d |
2 |
|
df |
|
||||
Из (5.28) получаем, что размерность спектральной функции S j :
S j амплитуда,
Гц что соответствует другому ее определению как спектральной
плотности сигнала, которая с физической точки зрения может быть интерпретирована как величина амплитуд спектральных составляющих, приходящихся на единицу частоты в сплошном спектре непериодического сигнала.
5.4. Зависимость между спектром и параметрами сигнала
Определение этой зависимости проведем на примере рассмотрения спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов с длительностью tu и скважностью
N T
tu (рис. 5.8).
Рис. 5.8. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов
133
Расчет комплексной амплитуды для этой последовательности согласно (5.18) приводит к выражению для ее модуля в виде
|
|
|
|
|
sin |
n |
|
|
|
|
||
A |
|
2 |
|
|
N |
|
|
, |
(5.29) |
|||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
||||||
n |
|
N |
|
|
|
|
|
|||||
N
где n - номер гармоники.
Используя зависимость (5.29) построим спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов (рис.5.9), воспользовавшись выражением y sin x
x.
Рис. 5.9. Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов
Огибающая спектра (рис. 5.9) пересекает ось, когда вели-
чина sin n 0, что следует из формулы (5.29). Ближайшее
N
пересечение произойдет, когда величина n
N 1. Отсюда по-
лучаем выражение для граничной частоты спектра fГр , осу-
ществляя преобразования, т.е.
134