Материал: Переходные процессы и спектры. Матвеев Б.В

L t 1 . p

Заменяя p на j и тем самым переходя от преобразования Лапласа к преобразованию Фурье, получаем спектральную плотность единичного сигнала

F t S j 1

Графики модуля S (5.38) и аргумента спектральной плотности s (5.39) единичного сигнала t изображены на рис. 5.11.

Рис. 5.11. Графики спектрального представления единичного сигнала

Амплитудный спектр S (рис. 5.11) является сплошным и при 0 обращается в бесконечность, что свидетель-

140

ствует о наличии в исходной функции t (1.36) скачка при

t 0.

Для образования этого скачка в соответствии с (5.37) при t 0 необходимо осуществить суммирование бесконечно большого числа синусоидальных составляющих, что может быть выражено формулой [10]

которая отражает спектр единичного импульса в интегральной форме.

Единичный импульс (1.38), обозначаемый в формулах какt - это сигнал, для которого

Согласно формуле (5.41) у единичного импульса сплошной равномерный спектр (рис. 5.12).

Рис. 5.12. Спектральная плотность единичного импульса

141

Получить спектр единичного импульса в интегральной форме можно, применяя формулу обратного преобразования Фурье (5.22) к спектральной функции единичного импульса

(5.41), т.е.

0

Единичный импульс t физически не может быть реализован. Он, как математическая функция, используется в теории сигналов и в анализе передачи сигналов по электрическим цепям. Единичный импульс может быть получен следующим образом. Так, если имеется прямоугольный видеоимпульс длительностью tu и высотой 1tu , то площадь такого импульса

равна единице. Если одновременно уменьшать длительность импульса и увеличивать его высоту в одинаковое количество раз, то площадь импульса остается неизменной; при tu 0получаем единичный импульс t .

5.7. Спектральный анализ электрических цепей

Понятие о спектрах сигналов может быть применено к задаче анализа электрических цепей. При этом должны быть известны: временная функция входного сигнала и комплексный коэффициент передачи цепи K j . Для решения этой задачи входной сигнал необходимо представить в виде элементарных (гармонических) сигналов. Затем определить реакцию цепи на каждый такой элементарный сигнал. Заключи-

142

тельным этапом решения задачи является суммирование всех элементарных сигналов на выходе цепи.

Если входной сигнал является непериодическим, то амплитуда элементарного гармонического колебания в спектре сигнала определяется через спектральную плотность форму-

лой (5.24)

dA 1 S1 j d ,

где S1 j - спектральная плотность входного сигнала, определяемая с помощью прямого преобразования Фурье (5.21)

Так как комплексный коэффициент передачи электрической цепи

K( j ) U2 , U1

то элементарная амплитуда в спектре выходного сигнала dU2 определяется выражением

С учетом того, что

dU2 1 S2 j d ,

то после ее подстановки и преобразований в (5.42) получаем зависимость

где S2 j - спектральная плотность выходного сигнала. Следовательно, спектральная плотность выходного сиг-

нала S2 j равна произведению спектральной плотности входного сигнала S1 j на комплексный коэффициент пере-

дачи цепи K j . Заменяя комплексные величины, входящие

143

в уравнение (5.43), выражениями через их модули и аргументы, получаем

Приравнивая модули и аргументы в выражении (5.44), получаем формулы:

S2 S1 K ,

s2 s1 .

Определив S2 j и применив обратное преобразование Фурье, можно найти напряжение на выходе цепи

Если на входе цепи действует периодический сигнал, то производится также разложение его на гармоники, которые определяются комплексной амплитудой n-й гармоники

Затем определяется спектр выходного сигнала как

An2 An1 K n ,

где An2 - комплексная амплитуда n й гармоники выходного сигнала, K n комплексный коэффициент передачи цепи для n й гармоники.

Заключительный этап – суммирование гармоник на выходе цепи:

u2 t 12 An2 e jn t.

n

144