Материал: Переходные процессы и спектры. Матвеев Б.В

T

a20 T1 S t dt - постоянная составляющая сигнала S t .

0

Составляющие ряда (5.7) называются гармониками. Ча-

стота первой гармоники f1 1 , где T - период сигнала S t .

T

Последующие гармоники имеют более высокие частоты, соответственно 2f1, 3f1 и т.д.

Ряд Фурье (5.7) может выражать заданную функцию S t с любой требуемой точностью в зависимости от количества гармоник.

Чем выше требуемая точность, тем больше необходимо гармоник для формирования формы сигнала. На рис. 5.2 показано образование прямоугольного импульса из суммы первой и третьей гармоник.

Рис. 5.2. Формирование прямоугольного импульса из первой (n = 1) и третьей (n = 3) гармоник

125

При большем количестве гармоник импульс приближается по форме к прямоугольному (рис. 5.3).

Рис. 5.3. Формирование прямоугольного импульса при большем числе гармоник

Ряд Фурье (5.7) можно представить в иной, более компактной форме записи

k

S t A0 /2 An cos n t n . (5.11)

n 1

Величины A0,An и n в (5.11) связаны с коэффициен-

тами a0 (5.8), an (5.9) и вn (5.10).

Так как cos n t n cosn t cos n sin n t sin n,

то

k

S t A20 An cos n cosn t An sin n sin n t . (5.12)

n 1

126

Сравнивая (5.7) с полученным выражением (5.12), опре-

Спектр сигнала S t обычно представляется в виде графиков (рис.5.4) и называется линейчатым.

Рис. 5.4. Спектр амплитуд (а) и спектр фаз (б) сигнала S t

Можно получить комплексную форму ряда Фурье, если в формуле (5.11) преобразовать выражение, стоящее под знаком суммы через формулу Эйлера

С учетом (5.14) ряд Фурье в комплексной форме записывается в виде

127

n

Определим теперь выражение для комплексной амплитуды An из (5.15), используя формулы:

График комплексного спектра по разложению (5.15) показан на рис. 5.5.

Рис. 5.5. График комплексного спектра амплитуд сигнала S t

128

Вид графика (рис. 5.5) определяется тем, что в формуле (5.15) суммирование распространяется на области положительных и отрицательных значений частоты n . Это не свидетельствует о физическом существовании отрицательных частот при n 0. Они являются лишь удобными в аналитическом отношении при расчетах.

5.3. Определение спектра непериодического сигнала

Рядом Фурье (5.11) могут быть представлены лишь периодические функции времени. Если взять одиночный импульс (непериодический), то можно ли его представить в виде спектральных составляющих?

Будем считать, что такой импульс получен из периодической последовательности импульсов в результате удаления от него рядом расположенных импульсов при безграничном увеличении периода T (рис. 5.6).

Рис.5.6. Получение одиночного импульса из периодической последовательности импульсов

Посмотрим, теперь какие изменения произойдут при таком подходе в выражении (5.15) для ряда Фурье

S t 12 An ejn t.

n

Преобразуем эту формулу следующим образом

129