Материал: Основы создания полимерных композитов

можно пренебречь по сравнению с pS2

Биквадратное уравнение (5.20), следовательно, трансформиру­ ется в обыкновенное квадратное уравнение, решая которое с учетом

или с учетом уравнения (5.14) получим окончательно из уравнения (5.25):

301

ищем в виде:

£ = A{chS^ + A2chS2%+ A3cha^cosag + A4sha4sina^ , (5.30)

где постоянные At можно найти из граничных условий, к формули­

ровке которых мы и переходим. Рассмотрим случай свободного опирания торцов армирующих слоев, который представляет наибольший практический интерес.

Для перерезывающих сил Q. и изгибающих моментов М. имеем следующие условия на торцах (х = ±0,5/): Q 0 = Q \ = 0 ; М0 = Mt = 0.

В силу парности касательных напряжений в полимерном слое

Далее, из условий совместности деформаций имеем:

Лк = Лк +hk£ l .

Считая, что торцевая плоскость при деформации перемещается

Следовательно, учитывая (5.31) и (5.31), граничные условия от­ носительно изгибающих моментов и перерезывающих сил запишем в

Определим теперь г в функции от £ Решая систему (5.12) относи­ тельно г = г, и переходя к переменной £ после некоторых преобра­ зований получим:

Ъd f f j 64В

303

С другой стороны , интегрируя уравнение (5.13), имеем:

где СI - некоторая постоянная интегрирования. Сравнивая уравнения (5.32) и (5.33), получим:

9bEyy bjh + h ^ l1

В силу нечетности функций

очевидно, что С, = 0. Следовательно:

Подставляя значение £ из уравнения (5.30) в (5.34), получим сис­ тему четырех линейных однородных уравнений относительно А:.

у4|5,5Л5| + A2S2shS2 + Aya{sha cos а - chasm а)+ + A4a(ch a sin а + sha cos а) = 0

AiS2chSi + A2S\chS2 - 2Аъа 2sha sin a + 2A4a 2chacosa = 0

AiSishSl + A2S\shS2 - 2 A ia*{chas\na + sha cos a ) - - 2y44a 3(sinacAa - shacosa) = 0

304

Условие существования нетривиальных решений для А. приво­ дит к следующему характеристическому уравнению:

Упростив это уравнение с учетом того, что S2 » 1 и, следова­ тельно, c t h S 1, получим следующее трансцендентное уравнение:

SxSlshSxshS2 cha shlxshl2(2d3 - d + \) = 0, cosа

где

=А.2 = - ^ ^ Г ± у [у 2 - 2 к 2 , i = 4^\

Анализ корней этого уравнения показывает, что наименьшее ре­ шение описывается формулой

У = 2к2 п2п2 (и = 0 , 1,2,...),

п2п2

где п выбирается таким, чтобы при данном к получить уып.

Минимизируя у по п, имеем у = k j2 , откуда, учитывая уравне­

ние (5.13), получим окончательно следующее значение критической силы:

Рассмотрим теперь случай, когда средний и крайние армирую­ щие слои не равны между собой, т.е.

Тогда из системы (5.9), принимая во внимание уравнения (5.10) и (5.11) при к = 1,2, получим после ряда упрощений:

305