Материал: Основы создания полимерных композитов

Рис. 8. К расчету устойчивости пятислойной модели: а) "симметричная" форма потери устойчивости;

6) "кососимметричная" форма потери устойчивости

2.1.2.а. "Симметричная" форма потери устойчивости

В силу симметрии имеем V0 = -V2; UQ= U2 *■Ux\ Vx= 0; r, = - x 2. Поскольку 0-й и 3-й полимерные слои отсутствуют, то г0= г3= 0. Следовательно, имеем:

2Х\ = y , - V o = - V 0; 2zi =V2 - V X= -V0; 2 \ = U , - U 0 2 ^ = V { +VQ=Vb\ 2£2 =V{ +V2 = -V0; lX2 =U0 - U {.

Очевидно далее, что %Q= Хъ = 0 ■ Итак, окончательно запишем:

Ci = ~Х\ - ~Хг = - Сг >Л = ~ ^ 2 ’ Т\ = ~ т2 ’ го = гз = 0 • (5.10)

Для простоты дальнейших рассуждений положим:

Ло = h\ —h2 = h ; D0 — —D2 = D \ BQ = B^ = B2 = В (5.11)

(затем эти ограничения будут ослаблены). Подставив (5.10) и (5.11) в (5.9) последовательно при к = 1,2, получим:

296

Исключив из (5.12) т, и введя вместо х безразмерную координату £ = 1x11, получим следующее дифференциальное уравнение восьмого порядка относительно £:

Хотя решение этого уравнения можно представить в виде ради­ калов по формулам Кордано и Феррари [49, 50], полученные таким путем выражения слишком громоздки для дальнейшего анализа. В то же время благодаря приближенности исходных уравнений нет необ­

297

ходимости в получении точных решений. Поэтому ограничимся при­ ближенным решением.

Обозначив

введем следующее обозначение полинома:

f ( S ) = S 4 - a S 3 +3k2S 2 - k 2a>'S +0$к2с2

Определим число положительных, отрицательных или комплекс­ ных корней уравнения (5.18). Это можно сделать на основании тео­ ремы Штурма, однако построение системы Штурма требует громозд­ ких вычислений, поэтому ограничимся более простыми частными

приемами. Поскольку а \ » a-fii (что следует из (5.14) и дальнейших

оценок), то характеристическое уравнение имеет комплексные корни (согласно теореме Гюа [43]) и, следовательно, число вещественных корней этого уравнения не больше 2. Составим систему последова­ тельных полиномов:

/(S ) ,/'( S ) ,...,/IV(S ).

Имеем:

/ '( S ) = 4S 3-УШЁ1 +6k 2S - k 2a>'

/ ш(5 ) = 6 (4 5 -© ), / IV(S ) = 24.

Очевидно, что полиномы имеют один и тот же знак. Следова­ тельно, число перемен знаков N в системе /*(+ ао) равно нулю, т.е.

7V(+oo) = 0.

С другой стороны, число перемен знаков в системе / А(0) равно 4, т.е. N(0) = 4. Поэтому имеем A7V = N(0) - N(+oo) = 4 , откуда по

теореме Бюдана - Фурье число положительных корней или равно 4, или меньше 4 на четное число. Этот же вывод следует из теоремы Де­ карта, так как число перемен знаков в системе коэффициентов а,, а2, аз, а4 равно 4. Следовательно, учитывая наличие комплексных сопря­

женных корней Sj уравнений (5.18), получим, что два корня действи­ тельные положительные и два - комплексные сопряженные.

Используя это, решим уравнение (5.18а). Разделив его на S4, по­ лучим биквадратное уравнение

298

где

где

Докажем, что 4q2 / р 2 « 1 . Для этого с учетом уравнения (5.14)

произведем некоторые оценки параметров, входящих в правую часть уравнения (5.22), при условии, что справедливы неравенства

Приняв в качестве первого приближения у= 2к (формула Тимо­ шенко [30] для изолированной балки, лежащей на упругом основа­ нии), что, как будет показано ниже, достаточно корректно, получим:

Е у у I г 1_\Уг

У = л/б

Еа h* { h

Далее имеем:

299

Поэтому

Следовательно, с учетом уравнения (5.23) и предыдущих оценок получим:

Откуда

Т.2

12Л:

« 1.

co2^+ k 2co'lS4<y)

Сравним безразмерные параметры (o'juj и с2/з/с2 .Пусть

‘ е л - Я = а

V ^ уу*1)

Для реальных стеклопластиковых систем а лежит в интервале 0,4-5 (другие значения маловероятны). Имеем далее a ' l a » ( а -0,1)/ а

С учетом реальных значений а очевидно, что

Таким образом, 4<72//?2 « I, что и требовалось доказать. Тогда из

уравнения (5.21) следует, что S2 «0,5/?, поэтому S,4 «0,5/?5,2, т.е. S4

300