Материал: Основы создания полимерных композитов

ности, например параллельным соединением элементов), или вслед­ ствие разрушения связующего (т.е. процесс можно описать, напри­ мер, рекуррентными уравнениями Колмогорова).

Теперь количественно оценим значения предела прочности ис­ следуемого композита при растяжении в аспекте рассмотренных вы­ ше статистически вероятностных моделей разрушения.

Нагрузка на армированный материал, состоящий из N волокон, где п волокон разрушено, а волокна, у которых г = N - «, не разру­ шены,

T= crrFNj j = a rFNP (a).

Сдругой стороны, имеем

<r = FN(ATaag+ B a c +C<Ta),

т.е. разрушение системы происходит либо вследствие нарушения сце­ пления между арматурой и связующим (низкий показатель г^), либо вследствие разрушения арматуры (когда т а0 г и <тс удовлетворяют ус­

ловиям монолитности или в достаточной степени приближаются к ним), либо вследствие разрушения связующего (низкий показатель

ас).

Как видно из фотографий, представленных на рис. 5, и из кри­ вых динамики роста количества разрывов (рис. 6), для исследуемого материала при растяжении (20 °С) в первом приближении можно счи­ тать справедливым второй вид разрушения.

Действительно, в начале практически одновременно с моментом приложения нагрузки разрушаются наиболее слабые волокна.

Далее нагрузка от разорванных волокон вследствие действия ка­ сательных и нормальных напряжений в связующем (4) передается, вопервых, к другим волокнам и, во-вторых, распределяется вдоль разо­ рванного волокна, заставляя работать его соседние участки.

Разрушение композита происходит в наиболее слабом его сече­ нии, где количество разрывов максимально, т.е. описывается моде­ лью слабейшего звена.

Следовательно:

<т= <rrFrCP(cr) ,

где

пп ( - ^

Р(сг) = ехр

4 \ u a J

Минимизируя Р(о) по <уп получим а г = о аyjl/nn , откуда предельная

286

Полагая, что т = 5 и минимизируя Т по тгм„, получим тгш)г = 0,9 тш)г, т.е.

Предположив [13], что rjaitP= 0,49, (рш)г = 0,040, тш„ - 2 кгс/мм2, а Fr = 0,11 мм2, получим Т= 1,7 кг. Это с точностью до 40% совпадает с экспериментом. Такое расхождение можно объяснить теми же причи­ нами, что и в предыдущем случае.

Таким образом, можно считать, что рассмотренные выше стати­ стические модели разрушения в первом и самом грубом приближении могут использоваться для качественного описания механизма разру­ шения однонаправленных композитов при растяжении. Для точного количественного описания этого механизма необходимо, видимо, применить некоторую линейную комбинацию статистических моде­ лей.

ГЛАВА 2. Прочность при сжатии

2.1. Устойчивость слоистых систем при сжатии

2.1.1.Состояние вопроса и исходные гипотезы

Вслучае действия на композит сжимающих сил вследствие осо­ бенностей строения армированных пластиков поведение волокна в полимерной матрице отличается сложным характером.

Анализ многочисленных исследований [16 - 27] показал, что первопричиной разрушения однонаправленного композита при сжа­ тии является потеря устойчивости армирующих элементов. Об этом, в частности, свидетельствует увеличение прочности композита с рос­ том модуля упругости стеклянного волокна и его диаметра, а с дру­ гой стороны - независимость прочности стеклопластика от деформативности матрицы и прочности арматуры.

При определении несущей способности многослойного компо­ зита при сжатии следует различать два случая: когда прочность арми­ рующих слоев выше или ниже критических напряжений при потере устойчивости этих слоев. Первый случай имеет наибольший практи­ ческий интерес, поэтому полагаем, что прочность композита при сжатии определяется его устойчивостью. Как известно, под устойчи­ востью системы понимается ее свойство сохранять исходную форму равновесия при фиксированных нагрузках. Для количественной оценки устойчивости существует несколько критериев.

Одним из основных является классический критерий Эйлера - Лагранжа (1744 г.), который применим к консервативным системам

288

[28 - 30].

По Эйлеру - Лагранжу решение сводится к определению воз­ можных форм равновесия, а потеря устойчивости отождествляется с выполнением условий существования новых форм равновесия, сколь угодно близких к исходной. Нагрузки, при которых эти условия реа­ лизуются, называются критическими.

Наибольшей общностью обладает динамический критерий, раз­ витый Лагранжем, Пуассоном, Ляпуновым, Болотиным [28, 30 - 33], который используется как для консервативных, так и для неконсер­ вативных систем. По этому критерию задача сводится к решению дифференциальных уравнений движения системы и изучению поведе­ ния этих решений во времени.

Очень широкое распространение получил энергетический метод С.П. Тимошенко [28, 30 - 34], который был создан Г. Кирхгофом, Д. Рэлеем и В. Ритцем. Он основан на рассмотрении потенциала всех сил, действующих на систему, и базируется на принципах возможных перемещений и возможных изменений напряженного состояния.

В настоящее время для изучения устойчивости многослойных систем применяются два метода - энергетический и классический, в рамках которых мы и рассмотрим существующие точки зрения на устойчивость композитов при сжатии.

Как и в других задачах механики армированных систем при ис­ следовании устойчивости обычно композит принимается либо одно­ родным анизотропным, либо кусочно-однородным. В случае, если система однородна, совершенно необходим учет сдвигов, к которым классическая теория Эйлера безразлична.

Впервые сдвиги были рассмотрены в задачах устойчивости в 1891 г. Энгессером [35], который, считая, что изгибающий момент равен М = Net) (где N - продольная сила), на основании общих урав­ нений теории упругости анизотропного тела приближенно получил уравнение устойчивости центрального сжатого стержня

где к - коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения, a F, J - площадь и момент инерции поперечного сечения.

В случае прямоугольного поперечного сечения Ржаницыным [31] получено следующее значение критической силы:

N кр

N Kp =

1+о,4^;

289

где N*Kp - эйлерова критическая сила, т.е. критическая сила, найден­

ная без учета сдвигов, а хт~ параметр, учитывающий сдвиги. Аналогичные решения были даны в работах [35 - 39]. Уравнение

устойчивости Тимошенко имеет вид:

откуда для прямоугольного сечения

Vi+i.6*’ - i

NKp= N Kp

0 ,8*;

Анализ рассмотренных решений, произведенный Малмейстером, Амбарцумяном и др. [40, 41], показал, что расчет стержней и плит на базе уточнений теории Тимошенко - Энгессера существенно отлича­ ется от результатов теории Эйлера - Лагранжа.

Розе и др. [42 - 44] в предположении о пренебрежимой малости поперечной деформации и сжимаемости оси стержня получили сле­ дующие уравнения устойчивости слоистого материала:

д 2 и + /Г 2 д г и = 0

На основании анализа полученной системы авторы делают вы­ вод о том, что при больших значениях хт->характерных для систем из

материалов, армированных волокнами, изменение а*кр практически

не влияет на критическое напряжение а кр, которое при Е хх -> оо или

НИ —>оо стремится не к бесконечности, как это следует из формулы

Эйлера а кр = %А2 Н 2ЕХХ, а к конечной величине: lim cr = Gxv.

Хп.-> «

Более строгий подход к решению поставленной задачи предло­ жен в работах Гузя и др. [38].

Авторы существенным образом используют трехмерные линеа­ ризованные уравнения теории упругости при малых докритических

290