Материал: Основы создания полимерных композитов

Полагая, что события ^•(cr) = i>{aI <а} и Рм (а) = Р{етм < а } неза­

висимы, имеем

Р(сг) = рР](<т)Р2(сг)...Рп(а).

Тогда вероятность разрушения материала

Q = \-P,P2...PnP = \ - ( \ - q ^ \ - q 2)-X\-qn)(\-q)^

Если qx+ q2 +... + qn + q « 1, то приближенно имеем:

П

/=1

где абсолютная ошибка Л < 1/2(^, +q2 +... + qn +q)2 Интенсивность разрушения стеклопластика можно представить следующим образом:

Если qk = q , то Q = \ - ( f - q n) ( \ - q ) ; Р = (1-^л)(1 - q ) . Пусть, напри­ мер,

Для описания процесса разрушения можно также применить ве­ роятностную модель процесса чистой гибели. Пусть из m волокон одно "рабочее", а остальные - "резервные" При разрушении рабо­ чего волокна с вероятностью р включается "резервное" волокно.

Стеклопластик считается разрушенным, если разрушены все его эле­ менты. Если <р- интенсивность разрушения / волокна, то суммарная интенсивность разрушения оставшихся неразрушенными (п - к) воло­ кон, очевидно, составляет: (рк = (п - к) <р, т.е. получим марковский однородный процесс с состоянием 0,1, 2, ..., в котором мгновенные

276

скачки возможны только вверх на одно состояние. Этот процесс, как известно, называется процессом чистой гибели.

Предположив, что <рт= 0, т.е. сделав состояние т поглощающим (попав в это состояние, процесс в нем остается) и введя вероятности состояний Рк(сг) = P\g(o) = к\, найдем вероятность разрушения стек­

лопластика Q(<J ) = Рт(сг).

Для вероятностей состояний материала нетрудно составить уравнения Колмогорова [10]:

^о(сг) = <Роро(°)

' P k ( ° ) = < P k - \ P k - \ ( < 7 ) - < P k P k ( ° ' ) •

......./с = 1Д,...,т — 1

Рт ( ° ) = <Рт-\Рт-\< < °)

При <7= 0 ни одно волокно в системе не разрушено. Следовательно:

Р0(0) = 1, Р*(0) = 0, к > 0 .

Применяя к системе преобразования Лапласа

Qk(z)= jexp(-z <j)Pk(a )da

о

и используя его свойства, нетрудно получить [10, 15] следующую приближенную формулу для расчета надежности стеклопластика:

т- 1

П ? ' /=1

Q ( ° ) = ■a q

т\

относительная погрешность которой не превосходит величины

т- 1

(m + ir '^ p .o - /=о

Если стеклопластик монолитен с вероятностью р , то можно

предложить еще одну модель его разрушения, учитывающую неиз­ бежную локальность приложения нагрузки и разброс свойств арма­

277

туры. Пусть вначале загружено одно волокно, имеющее функцию прочности Р0. Через него нагрузка передается ^-одинаковым волок­ нам с функцией прочности Ph через каждое из которых - а,-волокнам с функцией прочности Р2и т.д. (рис. 1).

Рис. 1. Статистическая "ветвистая" модель разрушения композита

Разрушение каждого волокна выключает из работы все волокна, следующие за ним. Волокна последнего л-го слоя называются выход-

П

ными, и их число N = ]^[я,

1=1

Материал считается разрушенным, если число работающих вы­ ходных элементов стало меньше некоторого критического числа т. В качестве состояния системы Sk можно взять число работающих вы­ ходных элементов хп, гделг„= 0,1,2,...Д [10].

Последовательность х0, х„ ..., х„ образует марковскую цепь, ко­ торая является частным случаем дискретного ветвящегося процесса Гальтона - Ватсона, анализ которого может быть произведен, на­ пример, методом производящих функций.

Приближенная оценка процесса может быть описана следую­ щими формулами:

Р(а) = р ] Г с ? ± .Л /(^)(Л Г -х„)'-*

—к£—т N

/п

где

1 к\(1-к)\

Если условия монолитности (сплошности) не выполняются, то разрушение композита происходит, как указывалось выше, или вследствие потери сплошности границы раздела волокно - связую­ щее, т.е. при разрушении материала происходит выдергивание воло­ кон из полимерной матрицы, или вследствие разрушения связующе­ го.

278

Рассмотрим вначале первый случай. Однонаправленный стекло­ пластик - система параллельных волокон в полимерной матрице. В силу неизбежной локальности приложения нагрузки и неравномерно­ сти распределения упруго-прочностных свойств элементов композита по его объему вначале происходит выдергивание одного волокна, по­ том другого, третьего и т.д. Разрушение системы наступает в том слу­ чае, если все ее несущие элементы - волокна.

Таким образом, принятая схема может быть смоделирована па­ раллельным (в смысле надежности) соединением элементов, когда для работы системы достаточно одного (или нескольких) элементов, а остальные играют роль резервных. Если условия монолитности не выполняются с вероятностью q , а все волокна одинаковы (в смысле

О

где т - число волокон в матрице.

Рассмотрим теперь второй случай, когда разрушение системы происходит только вследствие разрушения связующего. Интерпрети­ руем стеклопластик моделью, представленной на рис. 2.

Рис. 2. Статистическая "последовательная" модель разрушения композита

Элементы модели - линии связи, передающие нагрузку. В каче­ стве этих элементов применяется связующее, вероятность разрушения которого обозначим через рс. Из точки А усилие передается на пер­ вые два волокна, каждое из которых передает его на следующие два волокна и т.д. Волокна считаются неразрушимыми, а стеклопластик - неразрушенным, если нагрузка передается от точки А к точке В.

Можно рассматривать нашу систему S„, как т-й член некоторой последовательности чисел S\, S2 Sm ,..., в которой каждая после­ дующая система получается из предыдущей добавлением нескольких элементов [10]. Тогда можно показать, что вероятности р(.(о) и qc(d) удовлетворяют рекуррентным уравнениям Колмогорова, а вероят­ ность неразрушения системы можно представить следующим обра­ зом:

279

Рассмотрев возможные механизмы разрушения однонаправлен­ ного стеклопластика, перейдем к определению его прочности в стати­ стическом аспекте, учитывая, что основную силовую нагрузку вос­ принимает арматура.

Нагрузка на однонаправленный стеклопластик, состоящий из N волокон, где п волокон разрушено, а г = N - п не разрушено, состав­ ляет Т = a rFr, где сгг - напряжение в неразрушенных г волокнах, а

Fr - площадь пучка из г волокон. Однако rIN = FrIFN , где FN- пло­

щадь пучка из N волокон. С другой стороны rIN = Р(о). Следова­ тельно, Т = (jrFNP(<j). Используя уравнение (5.6), получим:

Найдем 7шах. Минимизируя Т по <хг, имеем:

или с учетом соотношений (5.5) и Ы21к = п имеем при длине образца

L:

Следовательно:

Тогда окончательно получим следующее значение прочности стекло­ пластика при растяжении:

Это соотношение, найденное исходя из статистически-вероятно- стного рассмотрения механизма разрушения композита при растяже­ нии, может служить для качественной оценки прочности композита.

Анализ его, в частности, показывает, что прочность композита при растяжении обратно пропорциональна корню квадратному из

280