Материал: Основы создания полимерных композитов

РАЗДЕЛ V

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ УПРУГО-ПРОЧНОСТНЫХ СВОЙСТВ КОМПОЗИТА

Итак, допустим, высокопрочный стеклопластик создан. Однако для конструкторов, технологов и проектировщиков он пока является "вещью в себе", т.е. возникает задача прогнозирования свойств ком­ позита по свойствам исходных элементов, чему и посвящен настоя­ щий раздел.

ГЛАВА 1. Прочность при растяжении

Существует много статистических моделей разрушения компо­ зиционных материалов: "слабейшего звена" и "пучка волокон" [1], их комбинаций [2], моделей, основанных на использовании теории сто­ хастических процессов и т.д. [3 - 8]. Однако анализ этих моделей ос­ нован или на исследовании одномерного напряженного состояния в мягких прослойках, или в жестких слоях не учитываются изгибные напряжения, или в композите пренебрегают влиянием краевого эф­ фекта.

Более общий подход к механизму разрушения стеклопластиков основан на представлении о том, что разрушение композита является результатом накопления в нем квазинезависимых случайных повреж­ дений [4 - 9].

Следует отметить, что в большинстве работ авторы исходят из того, что композит является монолитным, т.е. передача усилий от не­ посредственно загруженных волокон к незагруженным происходит идеально, или считают стеклопластик квазигомогенным. Однако стеклопластик - существенно гетерогенная среда, свойства арматуры и связующего которой в реальных композитах не отвечают в полной мере условиям монолитности (сплошности). В данном разделе сде­ лана попытка, используя ряд известных моделей, представить меха­ низм разрушения однонаправленного композита как совокупность следующих стадий - разрушение элементарного волокна - передача усилий через связующее от разрушенного волокна к соседним волок­ нам - разрушение всего композита. Анализ процесса основан на предположениях, свободных от указанных выше ограничений. Далее в книге на базе этого механизма предлагается формула для опреде­ ления прочности однонаправленного композита.

Итак, пусть имеется однонаправленный композит, состоящий из ряда параллельных волокон, разделенных прослойками связующего.

267

Система подвержена действию растягивающей нагрузки, причем не­ посредственно нагруженными являются армирующие волокна. По­ следние принимаем абсолютно упругими и прочными.

Совершенно очевидно, что непрерывные волокна имеют де­ фекты, возникающие в процессе их получения и при формовании стеклопластика. Поэтому при растяжении системы происходит раз­ рушение волокон в наиболее опасных местах. Допустим, вначале ра­ зорвалось одно волокно. Рассмотрим механизм его разрушения в ста­ тистическом аспекте.

Как известно, прочность волокна Э - случайная величина, так как распределение дефектов по его объему носит случайный харак­ тер, а прочность стекла обратно пропорциональна корню квадрат­ ному от величины дефекта.

Пусть F(o) = Р\сг < сг}- функция распределения прочности или

вероятность разрушения волокна при напряжениях, меньших сг. Допустим, что распределение величины ст- непрерывное, т.е.

существует производная dF(o)/d(o), и следовательно,

F (a)= Jf(z )d z ,

о

где /(ст) - плотность распределения.

Пусть далее Р(ст) = 1- F(cr) = Р{Э < сг), т.е. Р(сг) - вероятность

Нетрудно видеть, что д>(ст) - аналог интенсивности отказа эле­ мента в теории надежности, т.е. <p(<j) можно интерпретировать как вероятность разрушения волокна при повышении напряжения сг на единицу при условии, что при напряжении стволокно не разруши­

лось. Поэтому функцию (р(а) естественно называть интенсивностью разрушения.

268

Очевидно, что средняя прочность волокна есть математическое ожидание величины Э , т.е.:

о с = Мег = jqf(cr)d(T = ^odF{cr) = ^P{o)dcr

оо о

Среднее отклонение случайной величины Э от ас

х = yjDcr = 12 - о с2

где D - дисперсия величины Э

Используя соотношение (5.1), нетрудно получить:

сгс = J'P(x)exp(-x)rfx,

о

где 'Р(х) - функция, обратная к Ф(х). Можно показать, что Ф(х) < 1. Тогда

откуда при сг< сгс получим неравенство для оценки снизу вероятности неразрушения волокна, если известна его средняя прочность

Р(а) = е-фм ъ е ' а’

Определение вида функции распределения прочности Р(о) - чрезвычайно сложная задача. Поэтому зададим вид этой функции с точностью до нескольких неизвестных параметров, исходя из сле­ дующей модели разрушения стеклянного волокна.

Пусть разрушение элементарного волокна - случайный процесс его дробления на п независимых частей, функция прочности каждой из которых имеет вид:

Рк(ст) = \ - а к<ть + о ( а ь ),

где a, b = const.

269

Тогда функцию прочности всего волокна по теореме о независи­ мых событиях можно записать следующим образом:

где Я,/? = const.

Характеристики прочности для этого распределения

о

Для стеклянного волокна можно принять р - 2. Тогда, используя (5.2), получим:

-4 -Т

Р(<т) = е ^

а с

Можно предложить еще одну модель разрушения стеклянного волокна.

Пусть прочность волокна определяется некоторым параметром /?(ег), а разрушение его происходит тогда, когда /? > р , где р - не­

которое предельное значение. Полагаем [10], что

где <р(х) > 0. Интеграл этого уравнения

Ф(Д) = ст + Ф(Д0),

где

Ф (/,)= Й > - А = / ? ( 0 ) -

270