Материал: Основы создания полимерных композитов

Разрушение волокна происходит при напряжении сг, равном Ф(Д) - Ф(А>).

Параметр /ЗЬ - случайная величина, зависящая от многих техно­ логических факторов — натяжения, скорости намотки, шага рас­ кладки, температуры связующего, режима термообработки и т.д. При этом влияние всех этих факторов на величину /Зо равновероятно. По­ этому можно допустить, что fh распределена по нормальному закону.

Пусть мр0 =а, Dp0 =сг2. Раскладывая функцию Ф(/й) в ряд Тей­ лора в окрестности а и ограничиваясь линейными членами разложе­ ния, получим:

Ф ( Р ) ~ Ф(А,) * Ф(/?) - Ф(а)- Ф'(я)(Д, " я) •

Следовательно, прочность волокна подчинена нормальному закону распределения со средним значением

и дисперсией

Jo-

Следует отметить, что нормальный закон распределения

достаточно хорошо соответствует действительности, если разброс Р(о) невелик.

Однако, как отмечалось выше, на разброс /?(о) существенно влияют технологические факторы и режим нагружения, имеющие случайный характер. Поэтому в ряде случаев разброс значений fi(cr) бывает большим, и следовательно, предложенная модель может быть применена лишь в первом приближении.

Распределение Вейбулла находит широкое применение для опи­ сания прочностных свойств элементарных волокон. Это отчасти объ­ ясняется его общностью - оно содержит в себе как частный случай показательное распределение (при р = 1), распределение Релея (при р = 2), нормальное распределение, т.е. любое реальное распределение приближается распределением Вейбулла лучше, чем другими распре­ делениями. Поэтому для дальнейшего анализа примем именно этот вид распределения.

271

Итак, пусть волокно разрушено. Тогда в месте разрушения нор­ мальные напряжения отсутствуют. По мере удаления от места раз­ рыва, благодаря касательным напряжениям, действующим на поверх­ ности контакта, нормальные напряжения растут и достигают перво­ начальных значений.

Исследуем процесс передачи усилий от разорванного волокна к остальным и попытаемся найти и оценить условия, при которых эта передача возможна.

В работах ряда авторов, например [11, 12], использующих мо­ дельные представления для исследования механизма перераспределе­ ния усилий в стеклопластике, в полимерной матрице вследствие ма­ лой толщины прослойки связующего учитываются лишь касательные напряжения. Однако, хотя толщина полимерных пленок в композите действительно мала, все же в реальной структуре пластик является пространственной системой, в которой армирующие элементы распо­ лагаются вполне определенно по толщине и в плоскости образца. По­ этому, даже если взять случай нагружения в плоскости слоя, то воз­ можны сжатие, растяжение и сдвиг в направлениях, не совпадающих с направлениями армирования. В матрице возникает сложное напря­ женное состояние, и весь ее объем участвует в передаче нагрузки.

Далее, в большинстве работ, посвященных исследованию меха­ низма передачи усилий в композите, не учитываются изгибные эф­ фекты, что может привести к существенным погрешностям. Поэтому при определении напряжений в полимерной матрице, участвующих в передаче усилий от одного волокна к другому, будем рассматривать напряженно-деформированное состояние композита с учетом изгиба армирующих слоев и двумерного напряженного состояния в поли­ мерной матрице.

Пусть к-й слой разрушен. Передача усилий от него к - 1-му и к+ 1-му армирующим слоям происходит посредством напряжений а и г, возникающих в полимерной матрице. Эти напряжения можно най­ ти, решая полную систему дифференциально-разностных уравнений, описывающих деформированное состояние к-го полимерного слоя, с учетом принятых выше допущений [13].

В случае симметричного деформирования и при условии, что же­ сткости и толщины (&-1) и (А:+1)-го слоев равны между собой и не равны соответствующим значениям для к-го слоя, решение системы имеет вид [13]:

272

где

сток - максимальное значение напряжения, возникающего в А>м слое.

Как было отмечено выше, разрушение образца, состоящего из стеклянного стержня, помещенного в полимерную матрицу, происхо­ дит в сечении, отстоящем от места разрушения волокна на некотором расстоянии 1к, причем в этом сечении касательные напряжения не дос­ тигают максимальных значений, найденных по формуле (5.4), что, видимо, связано с неучетом неупругих деформаций, конкретных ус­ ловий закрепления и некоторых других факторов, имеющих место в реальных материалах.

Поэтому более строгим для исследования механизма передачи усилий является использование напряжений и деформаций на гра­ нице зоны краевого эффекта.

Фиксируя £ = 4 как границу области опасных касательных на­ пряжений, приводящих к разрушению материала, и используя соот­ ношение (5.4), найдем соотношение, связывающее длину зоны крае­ вого эффекта 1к с параметром системы rjk и коэффициентом использо­ вания прочности арматуры ки\

(5.5)

где

После разрушения волокна композит может вести себя по-раз­ ному.

Во-первых, большие касательные напряжения тк могут привести к расслоению вдоль разрушенного волокна, т.е. к отделению волокна от связующего. Это расслоение может распространяться неограни­ ченно, уменьшая эффект армирования, и может быстро локализо­ ваться. Во-вторых, большие нормальные напряжения <тк могут вы­ звать разрушение полимерной матрицы, распространяющееся от конца разрушившихся волокон к соседним.

Для того чтобы нагрузка от непосредственно загруженных воло­ кон к незагруженным передавалась полностью, связующее должно

273

отвечать условиям монолитности (сплошности).

Если записать эти условия в виде: Ut - х, - yt > 0 (/ = 1 -s- 4), где х,- упруго-прочностные и деформативные характеристики связующего; yf- упруго-прочностные и деформативные характеристики арматуры, исправленные на некоторый коэффициент kh то вероятность выпол­ нения условий сплошности (монолитности) композита с учетом фак­ тора времени можно представить следующим образом [14]:

exp(-AVJ0 - y i0e\p(-Xyit)

Р ( 0 =

где индекс "О" означает начало эксплуатации; xhyhcrxhcryi - средние

значения и дисперсии случайных величин х, и yf, гху - коэффициент парной корреляции; Ях1, Яу( - величины, обратные к математическим ожиданиям времени непоявления отказов для величин х, и y h соответ­ ственно.

Итак, пусть армированный пластик с вероятностью р моноли­ тен, т.е. с вероятностью р выполняются все условия сплошности, и,

следовательно, передача усилий от одного волокна к другому с веро­ ятностью р - идеальная. В таком случае стеклопластиковый компо­

зит можно рассматривать как пучок п связанных волокон. Прочность />го волокна, как указывалось выше, - случайная ве­

личина <ук, имеющая функцию распределения qk(cr) = Р{<тк < сг}. Тог­

да вероятность неразрушения А:-го волокна вплоть до напряжения а равна рк(сг) = \ - q k(cr). Состояние всякого к-то волокна можно за­ дать следующей функцией:

О- если при напряжении а волокно не разрушилось, 1 - если при на­ пряжении <т волокно разрушилось. Тогда состояние всего пучка во­ локон можно задать двоичным вектором

е(&) = (<г),е2 (<т),-,еп(сг)}.

Положим, что пучок находится только в двух состояниях - раз­ рушенном и неразрушенном, т.е.

274

О - если при напряжении <т волокна не разрушены, 1 - если при на­ пряжении «тволокна разрушены. Очевидно,

<р{°) = f[e\((T),e2((r),...,en(<j)].

Тогда вероятность того, что все волокна не разрушатся вплоть до на­ пряжения <т[10]

П

ее Е . к=\

где Е* - множество, которое удовлетворяет следующему условию:

£ .= { е : /( е ) = О}.

Однако, так как число волокон, равное п, и тем более число со­ стояний, равное 2я, огромно, то практически найти значение Р по предложенной формуле чрезвычайно трудно. Поэтому несколько уп­ ростим задачу, рассмотрев ряд вероятностных моделей разрушения композита. При нагружении стеклопластика наиболее слабые во­ локна начнут разрушаться сразу после приложения нагрузки. Остав­ шиеся волокна, загружаясь через полимерную матрицу, начинают дробиться, пока длина оставшихся кусков не станет меньше критиче­ ской длины 1к.

Поскольку разрушение волокна - случайный процесс, то для описания разрушения композита можно привлечь известное положе­ ние о слабейшем звене.

Пусть волокно разрушается в точках, где имеются дефекты. То­ гда на расстоянии / < 1к около отдельных разрывов часть каждого во­ локна можно считать неэффективной, так как напряжение в нем со­ ставляет некоторую долю ки от номинального напряжения в сплош­ ном волокне. Поэтому композит можно считать состоящим из слоев, высота которых равна длине утратившей эффективность части воло­ кон, т.е. 21к. При этом число звеньев составляет п = LI2lk , где L - дли­ на волокна; 1к - длина зоны краевого эффекта, определяемая по фор­ муле (5.5).

Можно считать, что звенья в системе соединены последова­ тельно, так как разрушение любого звена вызывает разрушение всего композита. Материал не разрушится при напряжении а только в том случае, если не разрушаются все звенья, т.е.:

275