Как было показано выше, условия сплошности можно записать в виде:
|
|
|
4/5 |
— |
йО& F aJFa , i-a O J 9 FaJFa , |
|^ > 0 Д 6 |
— -1Л |
<у„ |
<J„ |
Е„ |
F ' J |
Далее, из условия Ек/Е с = а к/а с получим следующее значение прочности композита, армированного частицами:
сгк = a ck /F (f ) .
Или, учитывая приведенные выше выражения для Ек и сгк, полу чим окончательно следующие неравенства, отражающие требования к арматуре и связующему:
4/5
^ |
^ - F |
aJFaF { f ) , Ь. |
049 |
0416 |
к F a J K F (f), |
- f >- |
|||
<Т„ |
к |
<7„ |
|
F„ 1 |
Напомним, что в этих неравенствах индекс "с" относится к свя зующему, "а" - к арматуре; / - относительное содержание дисперсных наполнителей (по отношению к чистому связующему); Fa - относи тельное содержание хаотически расположенного наполнителя.
Использование полученных выше неравенств позволит, задава ясь свойствами хаотически армированного наполнителя и относи тельными содержаниями армирующих элементов/ и Fa, сформулиро вать требования к связующему, выполнение которых обеспечит соз дание высокопрочного композита.
2.7.2. Тканый композит
Как известно, в настоящее время все большее применение для из готовления изделий промышленности и новой техники находят стек лопластики на основе многослойных тканей. Однако до сих пор практически отсутствует методика выбора связующего, обеспечи вающего монолитность материала. При решении этой задачи будем исходить из следующего. Есть элемент микроструктуры ткани, обра зованный перекрещивающимися под углом 2а нитями основы. На пряжения в связующем на контуре этого элемента найдем из условий совместности деформации связующего и нитей сгJcra =E cfEa
Для определения напряжений, действующих во внутренних точ ках элемента, применим методы теории функций комплексного пере менного и теории конформных отображений [41, 44]. С этой целью аппроксимируем этот элемент некоторым двуугольником, образован ным двумя дугами одинакового радиуса. Определение значений функций внутри области по ее значениям на границе — это задача
141
Дирихле, решение которой для двуугольника найти чрезвычайно сложно. Поэтому отобразим область Z - двуугольника на область W - единичный круг с помощью функции
W = 1- a - Z л/2а |
+ a - Z nlla |
a + Z |
1 |
Ka + Z |
где а - длина большей полуоси двуугольника.
Решением задачи Дирихле для единичного круга будет следую
щий интеграл Пуассона: |
|
щ г .р ) - ± 1 ° г ; 1 ж у |
. |
2лJ1+ г - 2г cos(<р - <р) |
|
где г, (р - полярные координаты точек единичного круга, в которых определяются значения функции; ф - аргумент граничных точек
единичного круга; q(<p) - заданная граничная функция.
Произведя затем обратное отображение на область Z и переходя к полярным координатам двуугольника р и у, получим следующие формулы для напряжений, действующих в области Z [44]:
|
|
|
2<тЕг |
|
cos у, |
|
|
|
|
|
|
о-,. = -------arc tg---------— |
|
|
|
||||
|
|
|
TrfaEa |
|
р\ +sin/, |
|
|
|
|
|
|
2оЕс |
COSУ. |
a arctgf |
р_ |
|
+tgri |
||
|
|
f |
l Pi COS/, |
—da |
|||||
|
|
tgaarctg-------- -— |
|
cos2 а |
|||||
|
|
* f a E a |
Р\ +sinx, |
|
|
||||
где |
сг - |
напряжение |
в стеклопластике; |
|
Л |
^ |
~2\ЛАа |
||
р, = l-2 £ c o s / + £ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
l + 2£cos/ + £2 |
||
„ |
, |
it |
2fcosy |
_ |
|
2£cos у |
У |
~ граничные |
|
£ = р /я ; |
/, = - — arc tg-y—-jy -; |
a = arc tg |
у |
» |
|||||
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
значения функции / , ; p ,/ - полярные координаты граничных точек двуугольника.
Нетрудно видеть, что подынтегральное выражение и, следова тельно, интеграл являются аналитическими функциями. Таким обра зом, согласно теореме о максимуме аналитической функции, он при
142
нимает максимальное значение на границе двуугольника. Кроме то го, этот интеграл относится к классу интегралов, зависящих от пара метра, что позволяет перейти к пределу по параметру под знаком интеграла.
Тогда, учитывая условия совместности деформаций и воспользо вавшись теорией прочности Губера - Мизеса:
^ = Й ( а д _<т.»)2+(сгл |
) 2+(о>-o-.-)2+6(rv, + rvr + rv.)2] , |
получим следующее условие равнопрочности арматуры и связующего в многослойном тканом композите при его растяжении вдоль ос новы: а - 031 = <*сЕа/15ЛсгаЕс
Совершенно очевидно при этом, что для обеспечения монолит ности композита его элементы должны отвечать условиям сплошно сти, т.е.
— |
>(1,4^ 1,7) 5 '^ “ М 1~ *1/), |
— |
> 2(1+Аг)1п2— |
|
<т0 |
V |
Еа |
225Fa |
1 - к , |
Решая эту систему с учетом значений а, получим следующие требования к элементам композита и его геометрии, удовлетворение которых обеспечит создание монолитной структуры:
> 0J 35(а - 031) |
Fa |
In2 — — , |
-Т^~ > 0,09(а -031) ^ Ч п 2 — — |
|||
ста |
1 ~kv |
<ja |
Fa |
\-k fj |
||
Или, полагая |
в |
первом приближении, что |
ки = 0,9, |
Fa = 0,5, |
||
JJC = 0,3, получим окончательно следующую систему неравенств: |
||||||
— >0J28(a -031), |
-^ -> 0,085(а -031), ^ > 0 ,0 8 5 (а - 0 3 1 ) . (3.45) |
|||||
& а |
|
® а |
|
® а |
|
|
Очевидно, что, если вся растягивающая нагрузка воспринима |
||||||
ется нитями основы, |
прочность стеклопластика |
|
|
|||
|
|
|
cr = °'«/flcosar > |
|
(3.46) |
|
где f a - доля нитей основы в единице площади поперечного сечения стеклопластика, которую можно определить по формуле
f a = F a ! - ! ^ - + a l s \ n a ,
/ Pom
143
где рут, ptKH- плотности нитей утка и основы соответственно. Правильность полученных выше условий монолитности прове
рялась на примере расчета многослойных тканей МТБС, нагружен ных вдоль линии основы (табл. 11).
Таблица 11
Упруго-прочностные параметры связующего
взависимости от свойств наполнителя
иугла наклона нитей основы тканого материала
(стекло б/щ, <тв = 2350, Еа = 7,5 • 104 МПа)
|
|
|
Марка ткани МТБС |
|
|
|
Свя- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Параметр |
1,8 |
2,1 |
2,5 |
3,5 |
4,35 |
5,2 |
6,0 |
9,5 |
зую- |
|
щее |
||||||||
Рут^Роси |
0,72 |
0,73 |
0,83 |
1,12 |
0,69 |
0,79 |
0,65 |
0,69 |
- |
20 |
21 |
24 |
25 |
25 |
26 |
25 |
26 |
|
|
а0 |
- |
||||||||
/* |
0,20 |
0,18 |
0,17 |
0,18 |
0,21 |
0,19 |
350 |
352 |
73 |
OV,, МПа |
120 |
164 |
330 |
350 |
350 |
352 |
350 |
352 |
70 |
г„*, МПа |
73 |
98 |
196 |
210 |
210 |
211 |
210 |
211 |
45 |
а, МПа |
73 |
98 |
1% |
210 |
210 |
211 |
210 |
211 |
45 |
(7т„1р, МПа |
440 |
390 |
365 |
381 |
381 |
379 |
381 |
379 |
|
|
0,91 |
0,90 |
0,80 |
0,68 |
0,68 |
0,58 |
0,63 |
0,61 |
|
Угол а определяется по микрошлифу, требования к связующему по формуле (3.45), прочность при разрыве стеклопластика определя лась как среднее арифметическое значение из 7 опытов, теоретиче ская прочность стеклопластика - по формуле (3.46).
2.8. Выбор оптимальной геометрии наполнителя и его ориентации
2.8.1. Оптимальная геометрия наполнителя
Как известно, упруго-прочностные свойства композиционных материалов определяются не только упруго-прочностными свойст вами их элементов, но и границами раздела волокно - матрица, ко торые существенно влияют на равнозагруженность и одновремен ность работы всех волокон. Однако влияние границ раздела, в част ности степени развитости поверхности раздела, т.е. диаметра арми рующих элементов, на прочность композита в достаточной мере изу чено лишь при испытаниях материала в условиях растяжения [12, 46]; прочность композита при растяжении зависит от диаметра волокна только в том случае, когда поверхность волокна повреждена. При этом изменение прочности прямо пропорционально степени повреж
144
дения поверхности арматуры, и, следовательно, прочность падает с ростом диаметра (из-за масштабного эффекта).
При работе композита на сжатие разрушение материала начина ется с потери устойчивости армирующих элементов [12, 32, 13, 47]. Поэтому их жесткость должна оказывать значительное влияние на прочность композита при сжатии. Известно, что жесткость волокон является степенной функцией их диаметра. Естественно поэтому предположить, что прочность при сжатии существенным образом зависит от диаметра. Действительно, имеет место следующее уравне ние регрессии [32]:
=115 + 11,5</+ 46ЕаЕс + 7,75гаЛ, , |
(3.47) |
т.е. прочность композита линейно связана с диаметром.
Это было подтверждено результатами исследования устойчиво сти модели стеклопластика, в которой нагрузка непосредственно прикладывается лишь к среднему элементу, а крайние вовлекаются в работу через связующее. Была получена линейная связь между ег^ и d [48].
Исследований влияния диаметра на сдвиговую прочность ком позита г очень мало, несмотря на актуальность этой проблемы. По этому интересно хотя бы в первом приближении оценить связь между d и г. Пусть удельная поверхность раздела характеризуется некото рой величиной a = II/S , где П - периметр всех границ раздела во
локно - матрица [48 - 50]. Если п - число волокон, a F - относитель ное содержание арматуры, то
П = ndn , S = nd2nlAF |
(3.48) |
и с учетом написанных выше соотношений
a = 4F /d |
(3.49) |
Очевидно, что с увеличением поверхности раздела, которая ха рактеризуется "плотностью границ" а , вероятность появления дефек тов возрастает, и, следовательно, можно ожидать понижения сдвиго вой прочности композита. Это предположение было эксперимен тально подтверждено при испытаниях кольцевых однонаправленных сегментов на межслоевой сдвиг.
Если гексагональная и квадратная укладки волокон в матрице равновероятны, то
0,846
(3.50)
Ы / d f ’
145