Г |
kEaFa +(1 к) |
Ег 1(, |
\-F„ |
7 Е{Л |
|
|
с |
|
F |
с Е |
|
|
a a |
\ - F a |
\ |
||
|
|
|
га |
^а / |
|
к |
+(I-*)E.F.T*E.f.+О-k )-^ p - |
-Е У с |
||
|
|
|
|
(3.44) |
|
Ecvc |
c E |
|
|
|
F„ |
|
= *a. |
|
-0-l7r |
|
|
||
|
к — -c + (\-k)E aFal |
+(l -* ) |
\-F„ |
-Е У с |
|
\-F„ |
|
|
|
где £* - предельная деформация волокна при растяжении.
Таким образом, можно записать систему уравнений относи тельно о,, о-,, и к, решением которой являются такие значения этих параметров, при которых происходит одновременное нарушение сплошности полимерной матрицы (герметичности) в слоях 0, 2 и во локон в несущем слое 1 (т.е. потеря несущей способности конструк ции).
В предположении, что связующее подчиняется, например, энер гетической теории прочности, разрешающая система будет состоять из уравнений (3.43) и (3.44). Естественно, что компоненты стеклопла стика при этом должны отвечать условиям монолитности (сплошно сти).
2.7. Условия создания высокопрочных хаотически армированных и тканых композитов
2.7.1. Хаотически армированный композит
Рассмотрим хаотически армированный композит, состоящий из полимерной матрицы, наполненной случайно расположенными во локнами, имеющими длину / и диаметр d. В силу хаотичности и, сле довательно, равновероятности расположения волокон под любым углом от 0 до 180° в любом сечении композита всегда можно выде лить объем, состоящий из двух параллельных волокон, между кото рыми находится хаотически армированный слой.
Поэтому в первом приближении будем моделировать работу хаотически армированного композита работой 5-слойной системы, состоящей из двух крайних стеклянных стержней и промежуточного среднего хаотически армированного стержня, разделенных двумя прослойками связующего. При этом непосредственно загруженными являются крайние слои.
Схематизируем механизм взаимодействия волокон с полимерной матрицей под воздействием внешней нагрузки с помощью модельных представлений [39].
131
Для этого выделим двумя параллельными сечениями элементар ный объем и мысленно удалим из него связующее, действие которого имитируется пружиной с константой Ес, равной модулю упругости связующего.
Тогда внешняя нагрузка N уравновешивается силами сопротив ления волокон разрыву N,, силами сопротивления выдергиванию во локон из полимерной матрицы N2i силами сопротивления разрыву связующего JV3 и силами адгезии на отрыв связующего от волокна N4.
Силы N |, ЛГ3 и N4пропорциональны модулям упругости Ev Ее и Ем. Следовательно, общая нагрузка N на композит со случайно рас положенными элементами [39]
НзН-'ййН'Ш-'й
где <тв - предел прочности волокон на разрыв; р = lljkd ; к = crajTa0!, ; гшК> - предел адгезионной прочности между связующим и волокном;
4 - объемное содержание наполнителя; F - площадь поперечного се чения; Е» - модуль упругости межфазного слоя, связанный с силами адгезии на отрыв связующего от волокна; Еа Еа - модули упругости связующего и наполнителя соответственно; 4*{l/d)- функция, выра
жающая отношение числа волокон в поперечном сечении при слу чайном расположении волокон к числу волокон однонаправленного стеклопластика при постоянном объемном содержании наполнителя; ф{Р) - функция, выражающая коэффициент использования прочно
сти волокон в параллельных плоскостях; /(//< /)- функция, оцени
вающая относительную площадь материала, прочность которого оп ределяется прочностью связующего; z(l/d) - функция, оценивающая
относительную площадь материала, прочность которого определя ется адгезией на отрыв связующего относительно поверхности воло кон.
Следует отметить, что нахождение весьма громоздких функций Ч* ft г и / чрезвычайно сложно и связано с рядом экспериментальных трудностей. Поэтому рассмотрим другой подход к определению раз рушающего напряжения слоя матрицы, армированной хаотически расположенными волокнами. Как известно [40], прочность такого композита зависит от угла ориентации волокон к оси растяжения. При малых углах ориентации 0 < а ^ ц, имеем а, = a e/cos2 а , т.е. раз рушение происходит вследствие разрушения волокон.
Угол щ можно определить из условия равенства проекций сил, воспринимаемых связующим и волокном и отнесенных к одному и тому же элементу площади поперечного сеченияД а), на ось действия
т
внешней нагрузки. Учитывая, что напряжения в связующем и в стек ловолокнах, ориентированных в направлении действующей силы, обратно пропорциональны их модулям, имеем:
/ • з |
Ес |
f |
\ |
cr0f cos3а 0 = <т0 - f |
/ |
-------- |
|
|
Еа |
|
cos а 0 |
откуда
а0 = arccos Це с/ е „.
Вдиапазоне а, < а < а2, где а, в первом приближении можно принять равным 0,5 (я/2 - а$), разрушение композита является следст
вием разрушения полимерной матрицы (или поверхности раздела арматура - связующее), и разрушающее напряжение равно
sin a cos а
И наконец, при больших значениях а, т.е. а, < а < л/2, разруше
ние происходит вследствие разрушения полимерной матрицы. В этом случае разрушающее напряжение будет составлять:
sin а
Переходя далее к среднеинтегральным значениям |
и |
полагая, что расположение волокон под любым углом равноверо ятно, получим:
i |
- |
d a J E |
I . |
|
|
|
|
a |
- cos2 a |
a |
о cos2 a |
a |
x |
||
°2 |
|
Tcd a |
2Тс |
-In |
|
(л/l+JC -l)x |
|
sincecosa |
(^ГЙх+г^-Л-х2] |
||||||
|
л / |
/2 |
|||||
|
|
|
/4 |
|
|
||
где x = ^Ec/Ea
Если считать, что результирующее разрушающее напряжение яв-
133
ляется аддитивной функцией от <т{, тогда
=4^S ^L ni f i* * - 1)»
|
|
|
|
(Л +х+2)Л -? Ш |
||
|
-jjB o i/ + ( \ - Л * ь И + а |
|
|
|||
|
|
|
. И |
А 1 |
|
|
. |
у1+ А*-1 |
, в = |
V T v |
|
|
|
где л = |
— |
* |
|
|
|
|
|
Vl+Jc +2 |
|
|
|
|
|
Обозначив выражение в фигурных скобках через |
||||||
|
|
ф = Д<тв/ + (1 - /) | гг Ш |
И |
<г, |
||
|
|
|
+ — |
|||
ивведя некоторую условную прочность наполнителя сга, имеем:
аа =<r/Fa = 4Ф/яЕа .
Далее из условия Еа/Е а = <т/сга получим Еа =4ФЕа/яЕаа а . Итак,
задача сводится к расчету 5-слойной модели, состоящей из двух крайних стеклянных стержней и промежуточного стержня, разделен ных двумя прослойками связующего, с характеристиками:
= o/F ffl =4Ф/лЕа и Еа =4ФЕа/яЕа<т .
Имеем = Л, * |
т.е. крайние стержни одинаковы, но отлича |
ются от среднего.
Задача сводится к решению следующей системы дифференциаль ных уравнений [42]:
Л4
Ф,и(Ог + о ,) -1 ? '(0 2 - А ) = б г 1, Ф .'Ч й г-А )-Я ?'(А + А )= - 3 6 г ,.
134
Э та система эквивалентна следующей:
ВгЯ™ + ^ г Ч | |
= т ( Л* + hi ) T\ . |
И |
4 |
л* г, - л*3 r,‘v - i ( / , |
+ Л, )«•,"' = * |
|
1 |
3£,„. |
2D, |
г1> D1У
решая которую относительно г, и переходя к безразмерной перемен ной £ = 2 х //, получим:
|
tГд |
d bg |
d 4g |
|
d 2g |
dg |
|
|
||
|
+ a |
d ? |
+ a |
A + |
a 3 ----- 7 |
+ a4 ~r~ = 0, |
|
|
||
|
d ? |
|
4 |
|
d£2 |
4 d£ |
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
( |
/ \ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
-a , = |
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
G xv |
J |
|
|
|
|
||
a2 =' 16B2 |
u* |
|
|
|
|
V |
2 " |
n |
+± |
] j ; |
|
|
|
|
у |
[ w 2 |
|
|
|||
|
|
|
3Eyv ( |
i V |
£ ^ / 3 Г / |
|
|
|
||
|
- a ,= |
|
|
|
УУ |
|
|
|
|
|
|
xy \h |
|
\ЬВ, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
a4 = — E b l \ ---- + J -Y J L V Е» ы 3 Г / ^ |
|
|
|||||||
|
4 2 |
3> |
2D |
D\hh* J |
16Я2 |
U* J |
|
|
||
Или обозначим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЪЕ.„.( |
/ V |
3ЕууЫ} ( 1 |
|
|
|
|
|
|
||
®л = |
, ЗА:" = |
|
|
|
|
|
|
|
- Т - |
|
J |
" |
16£, |
|
|
|
|
2D, |
|||
XV U |
|
|
|
|
А А л*. |
|||||
|
|
аи = kf, = |
3£„„6/3 Г |
/ |
|
|
|
|||
|
|
16В |
U |
|
|
|
|
|||
|
|
ц |
" |
|
|
|
|
|||
Следовательно, имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Al Y, |
, А2 'l |
|
|
|
||