усилия в слоях действуют вдоль и поперек волокон. При некотором давлении напряжения в слоях поперек волокон достигают критиче ских значений, происходит растрескивание связующего между волок нами, и конструкция, продолжая работать, становится негерметич ной.
Наиболее чувствительными к потере герметичности являются ортогонально армированные пластики, нагруженные по осям упру гой симметрии. Поэтому в качестве исследуемой расчетной модели возьмем упомянутый выше композит, состоящий из однонаправ ленно армированных слоев, расположенных взаимно перпендику лярно (рис. 4,а) (т.е. одноименные оси упругой симметрии соседних жестких слоев, повернутых на 90 °С).
Рис. 4. Расчетная модель композита
Полагая слои модели ортотропными, имеем, согласно закону Гука, следующую связь между напряжениями и деформациями в /-м слое модели:
(3.36)
где акп £к, CkJi{k,j = х, у, г) - напряжения, деформации и упругие кон станты соответственно материала /-го (/ = 1 -г- 3) слоя.
Подставляя в уравнение (3.36) значения ек и CkJi [37, 38], получим следующие выражения для определения напряжений в слоях 0 и 2:
126
где индекс "с" означает принадлежность параметра к связующему, "а" - к арматуре; Е, v, F - модуль упругости, коэффициент Пуассона и относительное содержание в слое материала соответственно; к - относительное содержание слоев, армированных в направлении оси
X.
Итак, на нулевой и 2-й слои действуют напряжения сг0л. и а0: (рис. 4,6).
Выделим элемент композита ABCD со стороной 2т и составим уравнение его равновесия:
т
-м
т
(3.38)
т т
Далее, воспользовавшись условиями неразрывности деформаций
Ecz - е а-.» £cv = £a v »°Y.v = a ax »законом Гука для связующего:
с
и для арматуры: еа= = \/Ее<та:, с учетом соотношений (3.37) и (3.38) получим следующие значения напряжений, действующих на элемент полимерной матрицы:
127
<т„= £,£„ |
+*(!-*)(£aFa |
Ее |
|
1 -F„ |
|
1 - P a |
|
X \<T, ^ ( 1 - k)(EaFa - j - ^ |
r ) +<T „ |
1-F„ |
|
|
|
|
|
<T = EcEa |
+M1~k)(EaFa— ^ - )2 |
||
c e l-F„ |
fle 1-F„ |
||
)2 1 E'V'i\ +vc) „
1- w - j z
m£aFa+(!-*)
1-F„
£fvf(l+i/f) 1-214л EaFa
х{<т,^£Д1-А:)(£а£а - - ^ - ) +<J|I- A r mE^Fa+(l-k)—^ |
(3.39) |
\-F„ |
|
Для оценки прочности связующего, на элемент которого дейст вуют нормальные напряжения (3.39), применим ряд наиболее употре бительных критериев прочности полимерных материалов.
Согласно критерию Гольденблатта - Копнова, имеем:
1/2(|/<т* -|/ст‘)(ст„ +стс>1 +<гс.)+
|
|
|
|
|
|
|
1/2 |
|
|
|
|
|
|
|
S1 |
или с учетом соотношений (3.39) получим: |
|
|
|
|
|||
ji'cO- *)[£«Л(1 - Еа) - £с]ст, + *£а£а+(!-*) |
Ес |
° \ \ X |
|||||
|
|
|
|
|
|
1~Еа |
|
0^ - ^ г ] [ 1 |
+2и,(1+ус)]+ |
|
|
|
(3.40) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
, |l +2^ +4^3 [ i f 1 |
П 1 |
Г |
|
|
> |
||
(l+2vf +4i/2) |
|||||||
^ |
2г2 |
[41,<г+ |
<т~) |
2хг |
\ |
С |
с/ |
1-2Ц я -jF^ |
ЕсЕа |
+к(\-к |
|
|
|
< 1. |
|
\-F„ |
|
|
|
|
|
||
128
где <х+, а ” , г - прочность связующего при растяжении, сжатии и сдвиге соответственно.
Условие прочности Янга содержит первый инвариант тензора напряжений а и второй инвариант девиатора напряжений <ти (интен сивность напряжений) Ф(а,сги ) = С , где функционал Ф берется в виде
полинома второй степени агц + Асг2 + Вег = С . Здесь А, В и С - неко
торые константы.
Используя этот полином последовательно для простого растяже ния, сжатия и сдвига, получим условие прочности в виде:
— fax+<Тсу+<*»)+
|
о+лу |
|
|
|
+j(^cx+^cy+^cz}2 |
|
|
|
|
где Л = с +/ с |
; х = |
|
|
|
Или с учетом соотношений (3.39) имеем: |
|
|
||
|
|
|
т1 |
|
|
ЕсЕ ,- Ъ - + к ( \- к { E.F. |
|
|
|
|
1-F . |
1-F . |
|
Ь! (3.41) |
х |
vc(l-A)[£„F0(l-Fa)-£ jo -I + kEaFa+ (\-k) |
4 |
||
|
0Д 1 -Я )[1 + 2хг(1+ус)]+ |
|
|
|
< |
X1' + * L [\-V' (]+Vc)y |
>< <х+ |
||
|
(l + 2l/c +4v*) (1+Я )2 |
' |
||
|
4 |
3 |
|
|
. 1 |
|
|
|
|
Предельное условие, согласно четвертой теории прочности (тео рия Мора), выражается в виде некоторой зависимости между каса тельным напряжением г по любой площадке, проходящей через ось среднего главного напряжения, и нормальным напряжением по той же площадке г = Ф(о). Уравнение кругов Мора имеет вид:
.2 |
/ |
\ 2 |
г +1 о —а,+<т3 \ |
_ (а, - а 3 |
|
Если огибающая кругов Мора аппроксимирована параболой, касающейся двух предельных кругов, соответствующих растяжению
129
и сжатию, то условие прочности можно записать в виде:
О-, +ст3 |
^1-— ^ 1 о-,+<т3 |
( |
_+ \ г |
_+ |
|
- — |
+ — (о-|-^з У < а+ |
||
|
|
|
1 |
|
|
|
\ |
& J |
|
или
0,5 е Ли -уД и -у,)] £ ,£ .т -Ч г + Ц1 1-Л
X | vc(\ - /с)[ЗД(1 - Ffl) - £ с]O’! + kEaFa + (\- k )
Г |
<7+> |
1+ -1 + 4- |
l - v c(l + rf) |
|
1-— |
|
|||
1 |
° ~ ) |
1 |
(<J+ + ( 7 ~ ) 2 [1 + V c(1 + кс). |
|
\2 -1
аУ
Ec a n x (3-42)
1 -F„
< a
И наконец, оценим прочность связующего по энергетической теории Губера - Мизеса - Генки. Как известно, полная энергия де формации складывается из энергии изменения объема и энергии из менения формы:
еи
=Jcryffey ,
о
где сги ,£и - интенсивность напряжений и деформаций соответст
венно.
В случае упругих деформаций условие прочности в главных на пряжениях имеет вид:
(<т, -<х2)2 +(а, -ст3)2 + (ст2 -<т3)2 < 2а +2
или с учетом значений (3.39) получим:
Е Л + * ( ' - * > ( « I (l-y-0+v,)].
(3.43)
х |у ,0 -* )[Е Л 0 -Л .)-£ гк | + * v .+ o -"“АЬН*
Далее, подставляя в (3.36) значения Ск]Л[37, 38] и принимая, что волокна подчиняются деформационной теории прочности, получим для материала в направлении оси х следующий критерий прочности:
130