Поскольку фактическое значение F > Fтабл, то коэффициент детерминации статистически значим (найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна).
Связь между F-критерием Фишера и t-статистикой Стьюдента выражается равенством:
t = t = \r(F) = \r(30.53) = 5.53
Показатели качества уравнения регрессии.
|
Показатель |
Значение |
|
Коэффициент детерминации |
0.24 |
|
Средний коэффициент эластичности |
3.67 |
|
Средняя ошибка аппроксимации |
92.83 |
Имеются данные о продаже трехкомнатных квартир на рынке жилья в Кемерово на 24 августа 2004 года (табл. 12)
. Постройте матрицу парных коэффициентов корреляции.
. Постройте парные уравнения регрессии, оцените их статистическую значимость и их параметров с помощью критериев Фишера и Стьюдента.
. Постройте модель формирования цены квартиры за счет значимых факторов.
. Существует ли разница в ценах квартир, расположенных в Центральном районе и в периферийных районах Кемерово?- номер по порядку; price- цена квартиры (тыс. руб.);- общая площадь квартиры (м2);- жилая площадь квартиры (м2);- площадь кухни (m2);оог - этаж: 1 - крайний этаж.
- средний этаж;- наличие балкона/лоджии:
- квартира с балконом/лоджией,
- квартира без балкона/лоджии,- квартира расположена в:
- Центральном р-не,
- Ленинском р-не,
- Заводском р-не.
Уравнение множественной регрессии может быть представлено в виде:
Y = f(β, X) + ε
где X = X(X1, X2, ..., Xm) - вектор независимых (объясняющих) переменных; β - вектор параметров (подлежащих определению); ε - случайная ошибка (отклонение); Y - зависимая (объясняемая) переменная.
Теоретическое линейное уравнение множественной регрессии имеет вид:
Y = β0 + β1X1 + β2X2
+ ... + βmXm + ε
β0 - свободный член, определяющий значение Y, в случае, когда все объясняющие переменные Xj равны 0.
Прежде чем перейти к определению нахождения оценок коэффициентов регрессии, необходимо проверить ряд предпосылок МНК.
Предпосылки МНК.
. Математическое ожидание случайного отклонения εi равно 0 для всех наблюдений (M(εi) = 0).
. Гомоскедастичность (постоянство дисперсий отклонений). Дисперсия случайных отклонений εi постоянна: D(εi) = D(εj) = S2 для любых i и j.
. отсутствие автокорреляции.
. Случайное отклонение должно быть независимо от объясняющих переменных: Yeixi = 0.
. Модель является линейное относительно параметров.
. отсутствие мультиколлинеарности. Между объясняющими переменными отсутствует строгая (сильная) линейная зависимость.
. Ошибки εi имеют нормальное распределение. Выполнимость данной предпосылки важна для проверки статистических гипотез и построения доверительных интервалов.
Эмпирическое уравнение множественной регрессии представим в виде:
Y = b0 + b1X1 + b1X1 + ... + bmXm + e
Здесь b0, b1, ..., bm - оценки теоретических значений β0, β1, β2, ..., βm коэффициентов регрессии (эмпирические коэффициенты регрессии); e - оценка отклонения ε.
При выполнении предпосылок МНК относительно ошибок εi, оценки b0, b1, ..., bm параметров β0, β1, β2, ..., βm множественной линейной регрессии по МНК являются несмещенными, эффективными и состоятельными (т.е. BLUE-оценками).
Для оценки параметров уравнения множественной регрессии применяют МНК.
. Оценка уравнения регрессии.
Определим вектор оценок коэффициентов регрессии. Согласно методу наименьших квадратов, вектор s получается из выражения: s = (XTX)-1XTY
К матрице с переменными Xj добавляем единичный столбец:
|
1 |
62 |
41 |
6 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
86 |
54 |
10 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
60 |
45 |
6 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
58 |
44 |
6 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
59 |
43 |
6 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
57 |
43 |
6 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
60 |
42 |
6 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
80 |
50 |
9 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
60 |
42 |
6 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
57 |
39 |
6 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
64 |
39 |
9 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
61 |
43 |
6 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
58 |
43 |
6 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
58 |
43 |
6 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
60 |
51 |
7 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
88 |
54 |
10 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
78 |
54 |
12 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
87 |
57 |
12 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
80 |
52 |
9 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
55 |
40 |
6 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
47 |
34 |
6 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
47 |
34 |
6 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
47 |
34 |
6 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
47 |
34 |
6 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
48 |
34 |
6 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
62 |
45 |
6 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
58 |
40 |
6 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
56 |
40 |
6 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
54 |
40 |
6 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
57 |
41 |
6 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
74 |
48 |
9 |
1 |
2 |
|
|
1 |
62 |
45 |
6 |
1 |
0 |
2 |
|
1 |
62 |
45 |
6 |
1 |
0 |
2 |
|
1 |
47 |
33 |
6 |
0 |
1 |
2 |
|
1 |
38 |
27 |
6 |
0 |
1 |
2 |
|
1 |
62 |
45 |
6 |
1 |
0 |
2 |
|
1 |
62 |
45 |
6 |
1 |
0 |
2 |
|
1 |
60 |
45 |
6 |
1 |
0 |
2 |
|
1 |
62 |
45 |
6 |
1 |
0 |
2 |
|
1 |
62 |
45 |
6 |
1 |
0 |
2 |
|
1 |
61 |
45 |
6 |
1 |
0 |
2 |
|
1 |
62 |
45 |
6 |
1 |
1 |
2 |
|
1 |
62 |
43 |
7 |
0 |
1 |
2 |
|
1 |
69 |
47 |
9 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
61 |
43 |
7 |
1 |
0 |
2 |
|
1 |
64 |
43 |
7 |
0 |
0 |
2 |
|
1 |
70 |
48 |
9 |
0 |
1 |
2 |
|
1 |
95 |
51 |
1 |
0 |
0 |
2 |
|
1 |
62 |
43 |
8 |
0 |
1 |
2 |
|
1 |
63 |
43 |
7 |
0 |
1 |
2 |
|
1 |
63 |
39 |
9 |
0 |
1 |
2 |
|
1 |
74 |
48 |
7 |
1 |
0 |
2 |
|
1 |
62 |
45 |
6 |
1 |
0 |
2 |
|
1 |
62 |
45 |
6 |
1 |
0 |
2 |
|
1 |
80 |
50 |
12 |
0 |
1 |
2 |
|
1 |
63 |
39 |
9 |
1 |
1 |
2 |
|
1 |
62 |
39 |
9 |
1 |
0 |
2 |
|
1 |
62 |
39 |
9 |
0 |
0 |
2 |
|
1 |
65 |
40 |
9 |
0 |
0 |
2 |
|
1 |
66 |
39 |
9 |
1 |
1 |
3 |
|
1 |
85 |
59 |
9 |
0 |
1 |
3 |
|
1 |
82 |
50 |
11 |
0 |
0 |
3 |
|
1 |
65 |
47 |
10 |
0 |
1 |
3 |
|
1 |
64 |
47 |
8 |
0 |
1 |
3 |
|
1 |
100 |
66 |
9 |
0 |
1 |
3 |
|
1 |
80 |
52 |
10 |
0 |
1 |
3 |
|
1 |
47 |
34 |
6 |
1 |
0 |
3 |
|
1 |
48 |
33 |
6 |
1 |
0 |
3 |
|
1 |
67 |
43 |
6 |
0 |
1 |
3 |
|
1 |
57 |
41 |
7 |
0 |
1 |
3 |
|
1 |
61 |
38 |
9 |
0 |
1 |
3 |
|
1 |
53 |
35 |
6 |
1 |
0 |
3 |
|
1 |
66 |
44 |
9 |
1 |
0 |
3 |
|
1 |
57 |
43 |
6 |
1 |
0 |
3 |
|
1 |
65 |
39 |
9 |
0 |
0 |
3 |
|
1 |
90 |
60 |
7 |
0 |
1 |
3 |
|
1 |
65 |
45 |
6 |
0 |
1 |
3 |
|
1 |
74 |
36 |
9 |
1 |
0 |
3 |
|
1 |
760 |
56 |
6 |
1 |
0 |
3 |
|
1 |
60 |
43 |
6 |
1 |
0 |
3 |
|
1 |
74 |
45 |
7 |
1 |
3 |
|
|
1 |
80 |
50 |
9 |
1 |
0 |
3 |
|
1 |
59 |
46 |
6 |
0 |
1 |
3 |
|
1 |
59 |
37 |
8 |
1 |
0 |
3 |
|
1 |
59 |
37 |
9 |
1 |
0 |
3 |
|
1 |
45 |
33 |
6 |
1 |
0 |
3 |
Матрица Y
|
820 |
|
2310 |
|
1550 |
|
1530 |
|
1600 |
|
870 |
|
870 |
|
1440 |
|
1100 |
|
730 |
|
1020 |
|
800 |
|
800 |
|
750 |
|
850 |
|
1350 |
|
1350 |
|
1350 |
|
2460 |
|
1000 |
|
830 |
|
820 |
|
820 |
|
930 |
|
820 |
|
1100 |
|
870 |
|
800 |
|
980 |
|
870 |
|
870 |
|
800 |
|
790 |
|
700 |
|
740 |
|
820 |
|
830 |
|
870 |
|
850 |
|
790 |
|
990 |
|
820 |
|
980 |
|
980 |
|
1200 |
|
1130 |
|
1070 |
|
3960 |
|
860 |
|
1100 |
|
1250 |
|
910 |
|
850 |
|
900 |
|
1400 |
|
950 |
|
960 |
|
1600 |
|
1300 |
|
1150 |
|
980 |
|
1000 |
|
820 |
|
800 |
|
1250 |
|
1120 |
|
660 |
|
680 |
|
790 |
|
800 |
|
920 |
|
630 |
|
800 |
|
720 |
|
900 |
|
970 |
|
780 |
|
850 |
|
79 |
|
1200 |
|
610 |
|
670 |
|
630 |
|
700 |
|
710 |
|
520 |
Делаем матрицу XT, а затем перемножаем матрицы, (XTX)
|
86 |
6192 |
3751 |
625 |
51 |
36 |
168 |
|
6192 |
936314 |
284459 |
45032 |
3828 |
2360 |
12952 |
|
3751 |
284459 |
167493 |
27630 |
2165 |
1595 |
7358 |
|
625 |
45032 |
27630 |
4827 |
351 |
282 |
1240 |
|
51 |
3828 |
2165 |
351 |
51 |
10 |
95 |
|
36 |
2360 |
1595 |
282 |
10 |
36 |
71 |
|
168 |
12952 |
7358 |
1240 |
95 |
71 |
386 |
В матрице, (XTX) число 86, лежащее на пересечении 1-й строки и 1-го столбца, получено как сумма произведений элементов 1-й строки матрицы XT и 1-го столбца матрицы X
Умножаем матрицы, (XTY)
|
86399 |
|
5812150 |
|
3854104 |
|
630254 |
|
47509 |
|
35500 |
|
160167 |
Находим обратную матрицу (XTX)-1
|
0.77 |
0.000291 |
-0.0123 |
-0.0112 |
-0.11 |
-0.0512 |
-0.0363 |
|
0.000291 |
2.0E-6 |
-1.1E-5 |
1.3E-5 |
-4.2E-5 |
6.0E-6 |
-3.8E-5 |
|
-0.0123 |
-1.1E-5 |
0.000347 |
-0.000425 |
0.000918 |
0.000377 |
0.000183 |
|
-0.0112 |
1.3E-5 |
-0.000425 |
0.00444 |
0.000859 |
-0.00316 |
-0.00132 |
|
-0.11 |
-4.2E-5 |
0.000918 |
0.000859 |
0.0735 |
0.0373 |
0.0053 |
|
-0.0512 |
6.0E-6 |
0.000377 |
-0.00316 |
0.0373 |
0.0706 |
0.00292 |
|
-0.0363 |
-3.8E-5 |
0.000183 |
-0.00132 |
0.0053 |
0.00292 |
0.0186 |
Вектор оценок коэффициентов регрессии равен
(X) = (XTX)-1XTY =
|
569.36 |
|
-1.39 |
|
27.81 |
|
-20.91 |
|
-246.78 |
|
-188.75 |
|
-153.7 |
Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии)
= 569.36-1.39X1 + 27.81X2-20.91X3-246.78X4-188.75X5-153.7X6
. Матрица парных коэффициентов корреляции R.
Число наблюдений n = 86.
Число независимых переменных в модели равно 6, а число регрессоров с учетом единичного вектора равно числу неизвестных коэффициентов.
С учетом признака Y, размерность матрицы становится равным 8.
Матрица, независимых переменных Х имеет размерность (86 х 8).
Матрица, составленная из Y и X
|
1 |
820 |
62 |
41 |
6 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
2310 |
86 |
54 |
10 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
1550 |
60 |
45 |
6 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1530 |
58 |
44 |
6 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1600 |
59 |
43 |
6 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
870 |
57 |
43 |
6 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
870 |
60 |
42 |
6 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
1440 |
80 |
50 |
9 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1100 |
60 |
42 |
6 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
730 |
57 |
39 |
6 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1020 |
64 |
39 |
9 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
800 |
61 |
43 |
6 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
800 |
58 |
43 |
6 |
0 |
1 |
|
|
1 |
750 |
58 |
43 |
6 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
850 |
60 |
51 |
7 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
1350 |
88 |
54 |
10 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1350 |
78 |
54 |
12 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
1350 |
87 |
57 |
12 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
2460 |
80 |
52 |
9 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1000 |
55 |
40 |
6 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
830 |
47 |
34 |
6 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
820 |
47 |
34 |
6 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
820 |
47 |
34 |
6 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
930 |
47 |
34 |
6 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
820 |
48 |
34 |
6 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1100 |
62 |
45 |
6 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
870 |
58 |
40 |
6 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
800 |
56 |
40 |
6 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
980 |
54 |
40 |
6 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
870 |
57 |
41 |
6 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
870 |
74 |
48 |
9 |
1 |
1 |
2 |
|
1 |
800 |
62 |
45 |
6 |
1 |
0 |
2 |
|
1 |
790 |
62 |
45 |
6 |
1 |
0 |
2 |
|
1 |
700 |
47 |
33 |
6 |
0 |
1 |
2 |
|
1 |
740 |
38 |
27 |
6 |
0 |
1 |
2 |
|
1 |
820 |
62 |
45 |
6 |
1 |
0 |
2 |
|
1 |
830 |
62 |
45 |
6 |
1 |
0 |
2 |
|
1 |
870 |
60 |
45 |
6 |
1 |
0 |
2 |
|
1 |
850 |
62 |
45 |
6 |
1 |
0 |
2 |
|
1 |
790 |
62 |
45 |
6 |
1 |
0 |
2 |
|
1 |
990 |
61 |
45 |
6 |
1 |
0 |
2 |
|
1 |
820 |
62 |
45 |
6 |
1 |
1 |
2 |
|
1 |
980 |
62 |
43 |
7 |
0 |
1 |
2 |
|
1 |
980 |
69 |
47 |
9 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
1200 |
61 |
43 |
7 |
1 |
0 |
2 |
|
1 |
1130 |
64 |
43 |
7 |
0 |
0 |
2 |
|
1 |
1070 |
70 |
48 |
9 |
0 |
1 |
2 |
|
1 |
3960 |
95 |
51 |
1 |
0 |
0 |
2 |
|
1 |
860 |
62 |
43 |
8 |
0 |
1 |
2 |
|
1 |
1100 |
63 |
43 |
7 |
0 |
1 |
2 |
|
1 |
1250 |
63 |
39 |
9 |
0 |
1 |
2 |
|
1 |
910 |
74 |
48 |
7 |
1 |
0 |
2 |
|
1 |
850 |
62 |
45 |
6 |
1 |
0 |
2 |
|
1 |
900 |
62 |
45 |
6 |
1 |
0 |
2 |
|
1 |
1400 |
80 |
50 |
12 |
0 |
1 |
2 |
|
1 |
950 |
63 |
39 |
9 |
1 |
1 |
2 |
|
1 |
960 |
62 |
39 |
1 |
0 |
2 |
|
|
1 |
1600 |
62 |
39 |
9 |
0 |
0 |
2 |
|
1 |
1300 |
65 |
40 |
9 |
0 |
0 |
2 |
|
1 |
1150 |
66 |
39 |
9 |
1 |
1 |
3 |
|
1 |
980 |
85 |
59 |
9 |
0 |
1 |
3 |
|
1 |
1000 |
82 |
50 |
11 |
0 |
0 |
3 |
|
1 |
820 |
65 |
47 |
10 |
0 |
1 |
3 |
|
1 |
800 |
64 |
47 |
8 |
0 |
1 |
3 |
|
1 |
1250 |
100 |
66 |
9 |
0 |
1 |
3 |
|
1 |
1120 |
80 |
52 |
10 |
0 |
1 |
3 |
|
1 |
660 |
47 |
34 |
6 |
1 |
0 |
3 |
|
1 |
680 |
48 |
33 |
6 |
1 |
0 |
3 |
|
1 |
790 |
67 |
43 |
6 |
0 |
1 |
3 |
|
1 |
800 |
57 |
41 |
7 |
0 |
1 |
3 |
|
1 |
920 |
61 |
38 |
9 |
0 |
1 |
3 |
|
1 |
630 |
53 |
35 |
6 |
1 |
0 |
3 |
|
1 |
800 |
66 |
44 |
9 |
1 |
0 |
3 |
|
1 |
720 |
57 |
43 |
6 |
1 |
0 |
3 |
|
1 |
900 |
65 |
39 |
9 |
0 |
0 |
3 |
|
1 |
970 |
90 |
60 |
7 |
0 |
1 |
3 |
|
1 |
780 |
65 |
45 |
6 |
0 |
1 |
3 |
|
1 |
850 |
74 |
36 |
9 |
1 |
0 |
3 |
|
1 |
79 |
760 |
56 |
6 |
1 |
0 |
3 |
|
1 |
1200 |
60 |
43 |
6 |
1 |
0 |
3 |
|
1 |
610 |
74 |
45 |
7 |
1 |
0 |
3 |
|
1 |
670 |
80 |
50 |
9 |
1 |
0 |
3 |
|
1 |
630 |
59 |
46 |
6 |
0 |
1 |
3 |
|
1 |
700 |
59 |
37 |
8 |
1 |
0 |
3 |
|
1 |
710 |
59 |
37 |
9 |
1 |
0 |
3 |
|
1 |
520 |
45 |
33 |
6 |
1 |
0 |
3 |
Транспонированная матрица (приведена частично)
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
820 |
2310 |
1550 |
1530 |
1600 |
870 |
870 |
1440 |
1100 |
730 |
1020 |
800 |
800 |
750 |
850 |
1350 |
1350 |
1350 |
2460 |
1000 |
830 |
820 |
820 |
930 |
820 |
1100 |
|
62 |
86 |
60 |
58 |
59 |
57 |
60 |
80 |
60 |
57 |
64 |
61 |
58 |
58 |
60 |
88 |
78 |
87 |
80 |
55 |
47 |
47 |
47 |
47 |
48 |
62 |
|
41 |
54 |
45 |
44 |
43 |
43 |
42 |
50 |
42 |
39 |
39 |
43 |
43 |
43 |
51 |
54 |
54 |
57 |
52 |
40 |
34 |
34 |
34 |
34 |
34 |
45 |
|
6 |
10 |
6 |
6 |
6 |
6 |
6 |
9 |
6 |
6 |
6 |
6 |
6 |
7 |
10 |
12 |
12 |
9 |
6 |
6 |
6 |
6 |
6 |
6 |
6 |
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |