Лекция: Основы эконометрического анализа

d2i = ryxiβi.= -0.14 • (-0.227) = 0.0309= 0.32 • 0.404 = 0.13= 0.0325 • (-0.0823) = -0.00268= -0.19 • (-0.262) = 0.05= -0.034 • (-0.201) = 0.00684= -0.26 • (-0.272) = 0.072

При этом должно выполняться равенство:

∑d2i = R2 = 0.29

Множественный коэффициент корреляции (Индекс множественной корреляции).

Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает индекс множественной корреляции.

В отличие от парного коэффициента корреляции, который может принимать отрицательные значения, он принимает значения от 0 до 1.

Поэтому R не может быть использован для интерпретации направления связи. Чем плотнее фактические значения yi располагаются относительно линии регрессии, тем меньше остаточная дисперсия и, следовательно, больше величина Ry(x1,...,xm).

Таким образом, при значении R близком к 1, уравнение регрессии лучше описывает фактические данные и факторы сильнее влияют на результат. При значении R близком к 0 уравнение регрессии плохо описывает фактические данные и факторы оказывают слабое воздействие на результат.

EQ R = \r(1 - \f(s2e; ∑(yi - \x\to(y))2)) = \r(1 - \f(13123967.15;18395389.83)) = 0.535

Связь между признаком Y факторами X умеренная

Расчёт коэффициента корреляции выполним, используя известные значения линейных коэффициентов парной корреляции и β-коэффициентов.

EQ R = \r(∑ryxiβyxi) = \r(ryx1βyx1 + ryx2βyx2 + ryx3βyx3 + ryx4βyx4 + ryx5βyx5 + ryx6βyx6)R = \r(-0.136 • -0.227 + 0.32 • 0.404 + 0.0325 • -0.0823 + -0.191 • -0.262 + -0.034 • -0.201 + -0.264 • -0.272) = 0.535

Коэффициент детерминации.

= 0.5352 = 0.287

. Проверка гипотез относительно коэффициентов уравнения регрессии (проверка значимости параметров множественного уравнения регрессии).

Число v = n - m - 1 называется числом степеней свободы. Считается, что при оценивании множественной линейной регрессии для обеспечения статистической надежности требуется, чтобы число наблюдений, по крайней мере, в 3 раза превосходило число оцениваемых параметров.

) t-статистика

табл (n-m-1;α/2) = (79;0.025) = 1.99

EQ ti = \f(bi;Sbi)

Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b0:

Sb0 = \r(313.71) = 17.71t0 = \f(569.36;17.71) = 32.15>1.99

Статистическая значимость коэффициента регрессии b0 подтверждается.

Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b1:

EQ Sb1 = \r(0.000991) = 0.0315t1 = \f(-1.39;0.0315) = 44.16>1.99

атистическая значимость коэффициента регрессии b1 подтверждается.

Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b2:

Sb2 = \r(0.14) = 0.38t2 = \f(27.81;0.38) = 73.95>1.99

Статистическая значимость коэффициента регрессии b2 подтверждается.

Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b3:

Sb3 = \r(1.81) = 1.34t3 = \f(-20.91;1.34) = 15.55>1.99

Статистическая значимость коэффициента регрессии b3 подтверждается.

Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b4:

Sb4 = \r(29.96) = 5.47t4 = \f(-246.78;5.47) = 45.08>1.99

Статистическая значимость коэффициента регрессии b4 подтверждается.

Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b5:

Sb5 = \r(28.78) = 5.36t5 = \f(-188.75;5.36) = 35.19>1.99

Статистическая значимость коэффициента регрессии b5 подтверждается.

Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b6:

Sb6 = \r(7.58) = 2.75t6 = \f(-153.7;2.75) = 55.84>1.99

Статистическая значимость коэффициента регрессии b6 подтверждается.

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии.

Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95% будут следующими:

(bi - ti Sbi; bi + ti Sbi)

b0: (569.36 - 1.99 • 17.71 ; 569.36 + 1.99 • 17.71) = (534.12;604.61): (-1.39 - 1.99 • 0.0315 ; -1.39 + 1.99 • 0.0315) = (-1.45;-1.33): (27.81 - 1.99 • 0.38 ; 27.81 + 1.99 • 0.38) = (27.06;28.56): (-20.91 - 1.99 • 1.34 ; -20.91 + 1.99 • 1.34) = (-23.59;-18.23): (-246.78 - 1.99 • 5.47 ; -246.78 + 1.99 • 5.47) = (-257.68;-235.89): (-188.75 - 1.99 • 5.36 ; -188.75 + 1.99 • 5.36) = (-199.43;-178.07): (-153.7 - 1.99 • 2.75 ; -153.7 + 1.99 • 2.75) = (-159.18;-148.22)

. Проверка общего качества уравнения множественной регрессии.

Оценка значимости уравнения множественной регрессии осуществляется путем проверки гипотезы о равенстве нулю коэффициент детерминации рассчитанного по данным генеральной совокупности: R2 или b1 = b2 =... = bm = 0 (гипотеза о незначимости уравнения регрессии, рассчитанного по данным генеральной совокупности).

Для ее проверки используют F-критерий Фишера.

При этом вычисляют фактическое (наблюдаемое) значение F-критерия, через коэффициент детерминации R2, рассчитанный по данным конкретного наблюдения.

По таблицам распределения Фишера-Снедоккора находят критическое значение F-критерия (Fкр). Для этого задаются уровнем значимости α (обычно его берут равным 0,05) и двумя числами степеней свободы k1=m и k2=n-m-1.

) F-статистика. Критерий Фишера.

EQ R2 = 1 - \f(s2e;∑(yi - \x\to(y))2) = 1 - \f(13123967.15;18395389.83) = 0,287

Чем ближе этот коэффициент к единице, тем больше уравнение регрессии объясняет поведение Y.

Более объективной оценкой является скорректированный коэффициент детерминации:

EQ \x\to(R)2 = 1 - (1 - R2)\f(n-1;n-m-1)\x\to(R)2 = 1 - (1 - 0.287)\f(86-1;86-6-1) = 0.232

Добавление в модель новых объясняющих переменных осуществляется до тех пор, пока растет скорректированный коэффициент детерминации.

Проверим гипотезу об общей значимости - гипотезу об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов регрессии при объясняющих переменных:

H0: R2 = 0; β1 = β2 = ... = βm = 0.: R2 ≠ 0.

Проверка этой гипотезы осуществляется с помощью F-статистики распределения Фишера (правосторонняя проверка).

Если F < Fkp = Fα ; n-m-1, то нет оснований для отклонения гипотезы H0.

EQ F = \f(R2;1 - R2)\f((n - m -1);m) = \f(0.287;1 - 0.287)\f(86-6-1;6) = 5,29

Табличное значение при степенях свободы k1 = 6 и k2 = n-m-1 = 86 - 6 - 1 = 79, Fkp(6;79) = 2.17

Отметим значения на числовой оси.

Поскольку фактическое значение F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим и уравнение регрессии статистически надежно

Оценка значимости дополнительного включения фактора (частный F-критерий).

Необходимость такой оценки связана с тем, что не каждый фактор, вошедший в модель, может существенно увеличить долю объясненной вариации результативного признака. Это может быть связано с последовательностью вводимых факторов (т. к. существует корреляция между самими факторами).

Мерой оценки значимости улучшения качества модели, после включения в нее фактора хj, служит частный F-критерий - Fxj:

Fxj = \f(R2 - R2(x1,xn);1-R2) (n - m - 1)

где m - число оцениваемых параметров.

Если наблюдаемое значение Fxj больше Fkp, то дополнительное введение фактора xj в модель статистически оправдано.

Частный F-критерий оценивает значимость коэффициентов "чистой" регрессии (bj). Существует взаимосвязь между частным F-критерием - Fxj и t-критерием, используемым для оценки значимости коэффициента регрессии при j-м факторе:

t(bj=0) = \r(Fxj)

         Список литературы

1.      Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. - М.: ЮНИТИ, 1998. - 650 с.

.        Буре В.М.. Евсеев Е.А. Основы эконометрики: Учеб. Пособие. - СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2004.- 72 с.

.        Валландер С.С. Заметки по эконометрике. - СПб.: Европ. ун-т ,2001. - 46 с.

.        Доугерти К. Введение в эконометрику: учебник. 2-е изд. М.: ИНФРА-М, 2004.- 432 с.

.        Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов.- М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.- 311 с.

.        Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. - М.: Дело, 2000. - 400 с.

.        Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Гордеенко и др.; Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2001, с. 49..105.

.        Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И.Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2001. - 344 с.