Лекция: Основы эконометрического анализа

= 0.4892 = 0.2394

т.е. в 23,94% случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - низкая.

Остальные 76,06% изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели (а также ошибками спецификации).

Для оценки качества параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 2)

. Оценка параметров уравнения регрессии.

Значимость коэффициента корреляции.

Выдвигаем гипотезы:: rxy = 0, нет линейной взаимосвязи между переменными;: rxy ≠ 0, есть линейная взаимосвязь между переменными;

Для того чтобы при уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции нормальной двумерной случайной величины при конкурирующей гипотезе H1 ≠ 0, надо вычислить наблюдаемое значение критерия (величина случайной ошибки)

t = r \f(\r(n-2);\r(1 - r))

и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы k = n - 2 найти критическую точку tкрит двусторонней критической области. Если tнабл < tкрит оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если |tнабл| > tкрит - нулевую гипотезу отвергают.

t = 0.489 \f(\r(97);\r(1 - 0.489)) = 5.53

По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=97 находим tкрит:

крит (n-m-1;α/2) = (97;0.025) = 1.984

где m = 1 - количество объясняющих переменных.

Если |tнабл| > tкритич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается). Поскольку |tнабл| > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим

Отметим значения на числовой оси.

В парной линейной регрессии t2r = t2b и тогда проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о существенности линейного уравнения регрессии.

Интервальная оценка для коэффициента корреляции (доверительный интервал).

EQ (r - t \r(\f(1-r;n-2)); r + t \r(\f(1-r;n-2)))

Доверительный интервал для коэффициента корреляции.

(0.489 - 1.984\r(\f(1-0.489;99-2)); 0.489 + 1.984\r(\f(1-0.489;99-2)))(0.314;0.665)

Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии.

Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:

EQ S = \f(∑ix2;n - m - 1)S = \f(174252.81;97) = 1796.421

= 1796.421 - необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).

S = \r(S) = \r(1796.421) = 42.38

= 42.38 - стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).- стандартное отклонение случайной величины a.

EQ S = S \f(\r( ∑2);n S(x))S = 42.38 \f( \r(26193.35);99 • 6.127) = 11.31

- стандартное отклонение случайной величины b.

EQ S = \f(S;\r(n) S(x))S = \f( 42.38; \r(99) • 6.127) = 0.7

Доверительные интервалы для зависимой переменной.

Экономическое прогнозирование на основе построенной модели предполагает, что сохраняются ранее существовавшие взаимосвязи переменных и на период упреждения. Для прогнозирования зависимой переменной результативного признака необходимо знать прогнозные значения всех входящих в модель факторов.

Прогнозные значения факторов подставляют в модель и получают точечные прогнозные оценки изучаемого показателя.

(a + bxp ± ε)

Где EQ ε = t S \r(\f(1;n) + \f((\x\to(x)-x);∑i2))

tкрит (n-m-1;α/2) = (97;0.025) = 1.984

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и Xp = 17

Вычислим ошибку прогноза для уравнения

= bx + a

EQ ε = 1.984 • 42.384 \r(\f(1;99) + \f((15.07 - 17);3716.9)) = 8.862(17) = 3.842*17 -42.102 = 23.204

.204 ± 8.862 (14.34;32.07)

С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при неограниченно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов.

Вычислим ошибку прогноза для уравнения

y = bx + a + ε

EQ ε = t S \r(1 + \f(1;n) + \f((\x\to(x)-x);∑i2))

EQ ε = 1.984 • 42.384 \r(1 + \f(1;99) + \f((15.07 - 17);3716.9)) = 84.56

(-61.35;107.76)

Индивидуальные доверительные интервалы для Y при данном значении X.

(a + bxi ± ε)

Где EQ ε = t S \r(1 + \f(1;n) + \f((\x\to(x)-x);∑i2 ))ε = 1.984 • 42.38 \r(1 + \f(1;99) + \f((15.07 - x);3716.9))крит (n-m-1;α/2) = (97;0.025) = 1.984

С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при неограниченно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов.

Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии.

) t-статистика. Критерий Стьюдента.

С помощью МНК мы получили лишь оценки параметров уравнения регрессии, которые характерны для конкретного статистического наблюдения (конкретного набора значений x и y).

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитываются t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Выдвигается гипотеза Н0 о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля.

Чтобы проверить, значимы ли параметры, т.е. значимо ли они отличаются от нуля для генеральной совокупности используют статистические методы проверки гипотез.

В качестве основной (нулевой) гипотезы выдвигают гипотезу о незначимом отличии от нуля параметра или статистической характеристики в генеральной совокупности. Наряду с основной (проверяемой) гипотезой выдвигают альтернативную (конкурирующую) гипотезу о неравенстве нулю параметра или статистической характеристики в генеральной совокупности.

Проверим гипотезу H0 о равенстве отдельных коэффициентов регрессии нулю (при альтернативе H1 не равно) на уровне значимости α=0.05.: b = 0, то есть между переменными x и y отсутствует линейная взаимосвязь в генеральной совокупности;: b ≠ 0, то есть между переменными x и y есть линейная взаимосвязь в генеральной совокупности.

В случае если основная гипотеза окажется неверной, мы принимаем альтернативную. Для проверки этой гипотезы используется t-критерий Стьюдента.

Найденное по данным наблюдений значение t-критерия (его еще называют наблюдаемым или фактическим) сравнивается с табличным (критическим) значением, определяемым по таблицам распределения Стьюдента (которые обычно приводятся в конце учебников и практикумов по статистике или эконометрике).

Табличное значение определяется в зависимости от уровня значимости (α) и числа степеней свободы, которое в случае линейной парной регрессии равно (n-2), n-число наблюдений.

Если фактическое значение t-критерия больше табличного (по модулю), то основную гипотезу отвергают и считают, что с вероятностью (1-α) параметр или статистическая характеристика в генеральной совокупности значимо отличается от нуля.

Если фактическое значение t-критерия меньше табличного (по модулю), то нет оснований отвергать основную гипотезу, т.е. параметр или статистическая характеристика в генеральной совокупности незначимо отличается от нуля при уровне значимости α.

tкрит (n-m-1;α/2) = (97;0.025) = 1.984t = \f(b;S)

EQ t = \f(3.84;0.7) = 5.53

Отметим значения на числовой оси.

Поскольку 5.53 > 1.984, то статистическая значимость коэффициента регрессии b подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

EQ t = \f(a;S)t = \f(-42.1;11.31) = 3.72

Поскольку 3.72 > 1.984, то статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии.

Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95% будут следующими:

(b - tкрит Sb; b + tкрит Sb)

(3.84 - 1.984 • 0.7; 3.84 + 1.984 • 0.7)

(2.462;5.221)

С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.

(a - tкрит Sa; a + tкрит Sa)

(-42.102 - 1.984 • 11.31; -42.102 + 1.984 • 11.31) (-64.538;-19.667)

С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.

) F-статистика. Критерий Фишера.

Коэффициент детерминации R2 используется для проверки существенности уравнения линейной регрессии в целом.

Проверка значимости модели регрессии проводится с использованием F-критерия Фишера, расчетное значение которого находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели.

Если расчетное значение с k1=(m) и k2=(n-m-1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.

EQ R = 1 - \f(∑ix2; ∑i2) = 1 - \f(174252.81;229104.81) = 0.2394

где m - число факторов в модели.

Оценка статистической значимости парной линейной регрессии производится по следующему алгоритму:

. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H0: R2=0 на уровне значимости α.

. Далее определяют фактическое значение F-критерия:

EQ F = \f(R;1 - R)\f((n - m -1);m)

EQ F = \f(0.2394;1 - 0.2394)\f((99-1-1);1) = 30.53

Где=1 для парной регрессии.

. Табличное значение определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2.табл - это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости α. Уровень значимости α - вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна.

Обычно α принимается равной 0,05 или 0,01.

. Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу.

В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-α) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом.

Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=97, Fтабл = 3.92

Отметим значения на числовой оси.