Лекция: Основы эконометрического анализа

(упрощенный тест Голдфелда-Куандта)

) упорядочиваем выборку по возрастанию одной из объясняющих переменных;

) формулируем гипотезу Н0: остатки гомоскедастичны

) делим выборку приблизительно на три части, выделяя k остатков, соответствующих "маленьким" х и k остатков, соответствующих "большим" х (kn/3);

) строим модели парной линейной регрессии отдельно для "меньшей" и "большей" частей

) оцениваем дисперсии остатков в "меньшей" (s21) и "большей" (s21) частях;

) рассчитываем дисперсионное соотношение:

) определяем табличное значение F-статистики Фишера с (k-m-1) степенями свободы числителя и (k - m - 1) степенями свободы знаменателя при заданном уровне значимости

) если дисперсионное соотношение не превышает табличное значение F-статистики (т.е., оно подчиняется F-распределению Фишера с (k-m-1) степенями свободы числителя и (k - m - 1) степенями свободы знаменателя), то гипотеза Н0 не отвергается - делаем вывод о гомоскедастичности остатков. Иначе - предполагаем их гетероскедатичность.

Метод устранения: взвешенный МНК.

Идея: если значения х оказывают какое-то воздействие на величину остатков, то можно ввести в модель некие "весовые коэффициенты", чтобы свести это влияние к нулю.

Например, если предположить, что величина остатка i пропорциональна значению xi (т.е., дисперсия остатков пропорциональна xi2), то можно перестроить модель следующим образом:

т.е. перейдем к модели наблюдений

Где

Таким образом, задача оценки параметров уравнения регрессии методом наименьших квадратов сводится к минимизации функции:

Или

где - весовой коэффициент.

         Выводы

Эконометрика - это наука, в рамках которой на базе реальных статистических данных строятся, анализируются и совершенствуются математические модели экономических явлений. Эконометрика позволяет найти количественное подтверждение либо опровержение экономического закона, либо гипотезы. Одним из важнейших направлений эконометрики является построение прогнозов по различным экономическим показателям.

Модель парной линейной регрессии является наиболее распространенным (и простым) уравнением зависимости между экономическими переменными. Метод наименьших квадратов дает наилучшие (в определенном смысле) оценки параметров регрессии. Решающее значение для правильного и обоснованного применения регрессионного анализа в эконометрических исследованиях имеет выполнение условий Гаусса-Маркова.

Необходимым элементом эконометрического анализа является проверка статистической значимости полученных оценок коэффициентов, а также всего уравнения регрессии в целом. В качестве показателя качества регрессии может использоваться коэффициент детерминации.

При использовании парной линейной регрессии для построения прогнозов необходимо учитывать доверительные интервалы прогноза и параметров регрессии.

         2. Практическая часть

         2.1 Задание 1

На основе данных 154 сельскохозяйственных предприятий Кемеровской области 2003 г. изучите зависимость рентабельность производства зерновых от урожайности зерновых (табл. 13).

Задание:

. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

. Рассчитайте параметры уравнения регрессии (линейное, полулогарифмическое, логарифмическое, полиномиальное).

. Оцените с помощью F-критерий Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик каждого уравнения выберите лучшее уравнение и дайте обоснование.

. Интерпретируйте полученные результаты.

Рисунок 2. Поле корреляции

Использование графического метода.

Этот метод применяют для наглядного изображения формы связи между изучаемыми экономическими показателями. Для этого в прямоугольной системе координат строят график, по оси ординат откладывают индивидуальные значения результативного признака Y, а по оси абсцисс - индивидуальные значения факторного признака X.

Совокупность точек результативного и факторного признаков называется полем корреляции.

На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит линейный характер.

Линейное уравнение регрессии имеет вид

= bx + a

Оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид

y = bx + a + ε,

где ei - наблюдаемые значения (оценки) ошибок εi, а и b соответственно оценки параметров α и β регрессионной модели, которые следует найти.

Здесь ε - случайная ошибка (отклонение, возмущение).

Причины существования случайной ошибки:

. Невключение в регрессионную модель значимых объясняющих переменных;

. Агрегирование переменных. Например, функция суммарного потребления - это попытка общего выражения совокупности решений отдельных индивидов о расходах. Это лишь аппроксимация отдельных соотношений, которые имеют разные параметры.

. Неправильное описание структуры модели;

. Неправильная функциональная спецификация;

. Ошибки измерения.

Так как отклонения εi для каждого конкретного наблюдения i - случайны и их значения в выборке неизвестны, то:

) по наблюдениям xi и yi можно получить только оценки параметров α и β

) Оценками параметров α и β регрессионной модели являются соответственно величины а и b, которые носят случайный характер, т.к. соответствуют случайной выборке;

Для оценки параметров α и β - используют МНК (метод наименьших квадратов).

Метод наименьших квадратов дает наилучшие (состоятельные, эффективные и несмещенные) оценки параметров уравнения регрессии. Но только в том случае, если выполняются определенные предпосылки относительно случайного члена (ε) и независимой переменной (x).

Формально критерий МНК можно записать так:

= ∑(yi - y*i)2 → min

Система нормальных уравнений.

a•n + b∑x = ∑y∑x + b∑x2 = ∑y•x

Для наших данных система уравнений имеет вид

a + 1491.7 b = 1562.3

.7 a + 26193.35 b = 37818.86

Домножим уравнение (1) системы на (-15.07), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.

-1491.7a -22479.92 b = -23543.86

.7 a + 26193.35 b = 37818.86

Получаем:

.43 b = 14275

Откуда b = 3.8415

Теперь найдем коэффициент "a" из уравнения (1):

a + 1491.7 b = 1562.3

a + 1491.7 • 3.8415 = 1562.3

a = -4168.13= -42.1024

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии:

= 3.8415, a = -42.1024

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

= 3.8415 x + 42.1024

Эмпирические коэффициенты регрессии a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов βi.

Само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 1)

. Параметры уравнения регрессии.

Выборочные средние.

EQ \x\to(x) = \f(∑i;n) = \f(1491.7;99) = 15.07\x\to(y) = \f(∑i;n) = \f(1562.3;99) = 15.78\x\to(xy) = \f(∑ii;n) = \f(37818.86;99) = 382.01

Выборочные дисперсии:

EQ S(x) = \f(∑2i;n) - \x\to(x) = \f(26193.35;99) - 15.07 = 37.54S(y) = \f(∑2i;n) - \x\to(y) = \f(253759.17;99) - 15.78 = 2314.19

Среднеквадратическое отклонение

S(x) = \r(S(x)) = \r(37.54) = 6.127S(y) = \r(S(y)) = \r(2314.19) = 48.106

Коэффициент корреляции b можно находить по формуле, не решая систему непосредственно:

EQ b = \f(\x\to(x • y)-\x\to(x) • \x\to(y);S(x)) = \f(382.01-15.07 • 15.78;37.54) = 3.8415

Коэффициент корреляции

Ковариация.

EQ cov(x,y) = \x\to(x • y) - \x\to(x) • \x\to(y) = 382.01 - 15.07 • 15.78 = 144.23

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

EQ r = \f(\x\to(x • y) -\x\to(x) • \x\to(y) ;S(x) • S(y)) = \f(382.01 - 15.07 • 15.78;6.127 • 48.106) = 0.489

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от -1 до +1.

Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

.1 < rxy < 0.3: слабая;

.3 < rxy < 0.5: умеренная;

.5 < rxy < 0.7: заметная;

.7 < rxy < 0.9: высокая;

.9 < rxy < 1: весьма высокая;

В нашем примере связь между признаком Y фактором X умеренная и прямая.

Кроме того, коэффициент линейной парной корреляции может быть определен через коэффициент регрессии b:

EQ r = b\f(S(x);S(y)) = 3.84\f(6.127;48.106) = 0.489

Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).

EQ y = r \f(x - \x\to(x);S(x)) S(y) + \x\to(y) = 0.489 \f(x - 15.07;6.127) 48.106 + 15.78 = 3.84x -42.1

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = 3.84 x -42.1

Коэффициентам уравнения линейной регрессии можно придать экономический смысл.

Коэффициент регрессии b = 3.84 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением на 1 единицу y повышается в среднем на 3.84.

Коэффициент a = -42.1 формально показывает прогнозируемый уровень у, но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными значениями.

Но если х=0 находится далеко от выборочных значений х, то буквальная интерпретация может привести к неверным результатам, и даже если линия регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой выборки, нет гарантий, что также будет при экстраполяции влево или вправо.

Подставив в уравнение регрессии соответствующие значения х, можно определить выровненные (предсказанные) значения результативного показателя y(x) для каждого наблюдения.

Связь между у и х определяет знак коэффициента регрессии b (если > 0 - прямая связь, иначе - обратная). В нашем примере связь прямая.

Коэффициент эластичности.

Коэффициенты регрессии (в примере b) нежелательно использовать для непосредственной оценки влияния факторов на результативный признак в том случае, если существует различие единиц измерения результативного показателя у и факторного признака х.

Для этих целей вычисляются коэффициенты эластичности и бета - коэффициенты.

Средний коэффициент эластичности E показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат у от своей средней величины при изменении фактора x на 1% от своего среднего значения.

Коэффициент эластичности находится по формуле:

EQ E = \f(∂y;∂x) \f(x;y) = b\f(\x\to(x);\x\to(y))

EQ E = 3.84\f(15.07;15.78) = 3.67

В нашем примере коэффициент эластичности больше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится более чем на 1%. Другими словами - Х существенно влияет на Y.

Бета - коэффициент

Бета - коэффициент показывает, на какую часть величины своего среднего квадратичного отклонения изменится в среднем значение результативного признака при изменении факторного признака на величину его среднеквадратического отклонения при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых переменных:

EQ β = b\f(S(x);S(y)) = 3.84\f(6.127;48.106) = 0.489

Т.е. увеличение x на величину среднеквадратического отклонения Sx приведет к увеличению среднего значения Y на 48,9% среднеквадратичного отклонения Sy.

Ошибка аппроксимации.

Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.

Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических:

\x\to(A) = \f(∑;n)100%

Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения регрессии к исходным данным.

\x\to(A) = \f(91.898;99) 100% = 92.83%

Поскольку ошибка больше 7%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве регрессии.

Эмпирическое корреляционное отношение.

Эмпирическое корреляционное отношение вычисляется для всех форм связи и служит для измерение тесноты зависимости. Изменяется в пределах [0;1].

EQ η = \r(\f(∑x2; ∑i2) )

EQ η = \r(\f(54852.006;229104.81)) = 0.489

Где EQ (\x\to(y) - y) = 229104.81 - 174252.81 = 54852.006

Индекс корреляции.

Для линейной регрессии индекс корреляции равен коэффициенту корреляции rxy = 0.489.

Полученная величина свидетельствует о том, что фактор x умеренно влияет на y

Для любой формы зависимости теснота связи определяется с помощью множественного коэффициента корреляции:

R = \r(1 - \f(∑ix2; ∑i2))

Данный коэффициент является универсальным, так как отражает тесноту связи и точность модели, а также может использоваться при любой форме связи переменных.

При построении однофакторной корреляционной модели коэффициент множественной корреляции равен коэффициенту парной корреляции rxy.

В отличие от линейного коэффициента корреляции он характеризует тесноту нелинейной связи и не характеризует ее направление.

Изменяется в пределах [0; 1].

Теоретическое корреляционное отношение для линейной связи равно коэффициенту корреляции rxy.

Коэффициент детерминации.

Квадрат (множественного) коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации, который показывает долю вариации результативного признака, объясненную вариацией факторного признака.

Чаще всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах.