Курсовая работа (т): Оптимальное управление запасом

Для данного случая, с учетом нововведенных предположений (12) - (14), выпишем затраты, задающиеся формулой (9):

Тогда функционал прибыли принимает следующий вид:

Выпишем числитель выражения (11) и проведем аналитические преобразования:

С учетом преобразований получим:

Таким образом, стоимостной показатель качества управления  можно записать в явной форме как функцию от параметра управления :

 (12), где ;

;

;

;

Проведем исследование зависимости показателя от параметра управления , то есть функции , заданной формулой (12). Заметим, что параметр управления может принимать значения из конечного множества . Для того чтобы применить известные аналитические методы рассмотрим соответствующую функцию от вещественного аргумента , заданную на отрезке . Таким образом, необходимо исследовать поведение функции  в указанном отрезке: .

Для удобства, в дальнейшем  обозначим как , то есть . Сначала найдем значения функции  в крайних точках :

Особой точкой является точка , но она не принадлежит отрезку, то есть не допустима. Вычислим производную функции  и применим классические методы исследования поведения этой функции с помощью производной.

Так как в знаменателе стоит всегда положительная величина, то знак производной определяется по знаку числителя производной функционала. Выпишем числитель как явно заданную функцию от аргумента :

Рассмотрим алгебраическое уравнение:

Данное квадратное уравнение имеет дискриминант:

Рассмотрим случай, когда  при этом квадратное уравнение не имеет корней, так как не пересекает ось . Квадратичная функция  с отрицательным дискриминантом и отрицательным коэффициентом перед  имеет форму параболы с ветвями, направленными вниз и не соприкасающуюся с осью абсцисс. Вершина параболы по оси абсцисс имеет координаты .

Таким образом, функция  убывает на , и поэтому она принимает максимальное значение в точке . То есть

Теперь рассмотрим случай, когда дискриминант является положительным числом, то есть . Тогда квадратное уравнение  будет иметь два корня . Так как , то точка  не принадлежит данному отрезку, то есть недопустима. Поэтому рассмотрим точку . Положение точек относительно рассматриваемого отрезка  может иметь три случая. Заметим, что данные три случая положения точек являются исчерпывающими для случая .

Случай 1:

Пусть , тогда квадратичная функция  будет положительна на  и будет иметь вид:

Таким образом, функция  возрастает на  и, таким образом, принимает максимальное значение в точке , то есть

Случай 2: Пусть , тогда квадратичная функция  будет отрицательна на  (см. рис.1), то есть функция  будет убывать на данном отрезке (см. рис.6), и положительна на  (см. рис.2), то есть функция  будет возрастать на данном отрезке (см. рис.2). Таким образом, для первого отрезка максимум функции будет достигаться в точке , а для второго в точке .

Максимум функции  на отрезке , будет зависеть от знака неравенства между членами  и . Если

то максимум достигается в точке . Если наоборот, то - точка максимума.

Рис 1. Общий характер поведения функции  в случае

Рис 2. Общий характер поведения функции  в случае

Случай 3:

Последний случай, когда тогда квадратичная функция  будет отрицательна на  (см. рис.3), то есть функция  будет убывать на данном отрезке, поэтому ее максимум будет достигаться в точке  (см. рис.4).

Рис. 3. Общий характер поведения функции  в случае

Рис. 4. Общий характер поведения функции  в случае

3.2 Анализ полученных решений

Таким образом, возникает несколько вариантов решений системы в зависимости от входных параметров. Если дискриминант , то максимум достигается в точке , то есть

.

В случае : если , то максимум в точке ; если , то максимум достигается либо в точке  либо в ; если , то максимум в .

Выпишем итоговые результаты в виде системы. Обозначим  - точку, в которой достигается максимум функции .

 (13)

Рассмотрим последовательно все варианты соотношений параметров модели, указанные в системе (13). Исследуем условия, при которых реализуется каждое возможное решение.

1)      Рассмотрим первое решение, которое получилось из предположения, что . Запишем неравенство для дискриминанта в полной форме:

В силу положительности стоимостных параметров и параметра  экспоненциального распределения, неравенство принимает вид: