Курсовая работа (т): Оптимальное управление запасом

Оптимальное управление запасом

Оглавление

Глава 1. Введение

1. Общее описание проблемы оптимального управления

2. Анализ полученных ранее результатов

2.1 Регенерирующий процесс

2.2 Постановка задачи оптимального управления

2.3 Система с детерминированным периодом задержки [4]

2.4 Система, функционирующая в период задержки с детерминированной скоростью потребления товара [5]

Глава 2. Задача оптимального управления запасом

1. Описание модели регенерации и её исходные характеристики

1.1 Основные стоимостные характеристики системы

1.2 Общее описание стохастической модели

2. Получение представления для стационарного стоимостного показателя качества управления

2.1 Аналитические представления для характеристик модели регенерации

3. Исследование функционала

3.1 Исследование функционала для частного случая скидок

3.2 Анализ полученных решений

Глава 3. Программная реализация

1. Представление программной реализации

2. Результаты выполнения программы

2.1 Результаты для первого варианта входного набора

2.2 Результаты для второго варианта входного набора

Заключение

Список литературы

Глава 1. Введение

1. Общее описание проблемы оптимального управления

В настоящее время рыночная экономика в условиях большой конкурентности требует быстрой синхронизации необходимых товаров на рынок, склад или предприятие. Недостаток или избыток товаров вызывает отрицательное влияние на положение экономики предприятия, поэтому заинтересованность в оптимальной стратегии поставки товара возрастает. Таким образом, изучение управления запасами - времени заказа товара, его перевоза и поставки необходимо для целесообразного развития экономики в целом. Безусловно, критерий, который интересен для рассмотрения любому предприятию - минимизация общих затрат. Для этого, необходимо понять какое количество товара и когда поставлять. В современном мире конкуренция, несомненно, побуждает производителей идти на всякого рода уступки для продвижения своего товара и стимулирования заказа товара для продвижения своих изделий на рынке. Роль стимула могут играть всякого рода скидки на заказ товара складскими предприятиями больше определенного изготовителем объема. Однако не всегда выгодно сразу пользоваться данными преимуществами. Зачастую предприятия не могут функционировать во время поставки товара, и останавливать производство во время увеличения дохода, не всегда рациональное решение. Таким образом, чтобы достичь наибольшей прибыли, предприятие должно отследить получаемую ими прибыль и принять решение о возможной приостановке продажи, для заказа и поставки новой партии товара, или решение продажи товара до момента полного исчерпания, и последующего заказа новой партии. Для этого необходимо построить модель для данного предприятия, рассмотреть соответствующий процесс и найти оптимальное решение для получения наибольшей прибыли.

2. Анализ полученных ранее результатов

2.1 Регенерирующий процесс

Для начала рассмотрим предшествующие результаты исследований. Рассмотрим примеры моделей, в которых основной задачей также является нахождение уровня запасов, с которого начинается заказ новой партии продукции на склад. При этом уровне будет достигаться максимальная прибыль. Основным предметом изучения будет являться регенерирующий процесс. Согласно работе [2] A. A. Боровкова, регенерирующим процессом или процессом восстановления является множество случайных величин , которые зависят от времени, определены на вероятностном пространстве , где  - множество допустимых решений,  - подмножество допустимых решений,  - вероятность, управляющее распределение. В некоторый момент времени процесса наступает случайное испытание  или эксперимент. Имеет место функция распределения, которая задана с помощью вероятностной величины: . Так же величины подчиняются марковским свойствам, то есть состояние процесса в данный момент времени не зависит от прошлого состояния. Обозначим  как состояния процесса, который изменяется в моменты времени . Регенерирующий процесс обладает следующими свойствами:

·        Состояние процесса в момент времени  не зависит от состояние в момент ,

·        Множество  является процессом восстановления

·        Величины  имеют одинаковое распределение, распределение процесса на каждом периоде регенерации одинаково

Таким образом,  является регенерирующим процессом с заданным распределением.

2.2 Постановка задачи оптимального управления

Для дальнейшего исследования модели, а также нахождения оптимального уровня запасов (параметра управления), приведем некоторые известные результаты. Определим стоимостной функционал. Для этого воспользуемся теоремой, полученной В.А. Каштановым и дальнейшими исследованиями П.В. Шнуркова, который вывел утверждение в сильной форме. Теорема имеет название эргодическая и имеет вид:

где  - стоимостной функционал,

 - математическое ожидание приращения прибыли

 - математическое ожидание периода регенерации.

Пусть рассматривается регенерирующий процесс, описанный в предыдущем подпункте 2.1 Тогда функционал прибыли представим в виде дробно-линейного функционала:

где  - математическое ожидание приращения прибыли (при условии принятия решения )

 - математическое ожидание приращения периода регенерации (при условии принятия решения )

Таким образом необходимо решить задачу на экстремум данного функционала:

Пусть , тогда, следуя работе П.В. Шнуркова [], если данная функция ограничена сверху и достигает глобального экстремума, то существует экстремум функционала прибыли и имеет место:

Таким образом, возможно решение экстремальной задачи в виде:

2.3 Система с детерминированным периодом задержки [4]

В данной работе описывается модель склада, в котором в начальный момент времени имеется  единиц товара. Реализация продукции происходит поштучно. При уровне запасов на складе  происходит заказ на новую партию. Во время выполнения заказа происходит дальнейшая реализация товара, то есть склад так же функционирует. Период задержки поставки товара  является детерминированной величиной. Требования, которые поступили в период задержки товара, также обрабатываются и выполняются после обработки заказа, то есть после получения новой партии товара. Таким образом, прибывшая партия товара восполняет уровень запаса до начального состояния. Необходимо отметить, что уровень товара на складе, с которого происходит заказ на новую партию, может принимать значения , то есть в системе возможен дефицит товара. В модели необходимо найти уровень товара на сладе, при котором происходит заказ новой партии и при котором функционал прибыли достигает максимального значения. Таким образом, показателем эффективности функционирования является функционал прибыли данной системы.

В работе рассматривается случайный процесс , описывающий объем товара на складе в момент времени . Время продажи очередной партии товара является случайной величиной, имеющей экспоненциальное распределение:

Так продажа товара на всем периоде регенерации объемом  имеет распределение Эрланга

Для определения функционала дохода, обозначенного как , в работе использовалась эргодическая теорема, которая имеет вид:

где  - функционал прибыли данной системы,

 - математическое ожидание прибыли в период регенерации,

 - математическое ожидание длительности периода регенерации.

Таким образом, целью данной работы являлось нахождение функционала прибыли  и его дальнейшей максимизации, то есть решение задачи , где  - параметр управления модели. Для определения функционирование системы в систему был введен набор стоимостных параметров.

Результатом данной работы являются функционалы прибыли , которые были посчитаны соответственно для случаев:

Необходимо отметить, что для выполнения всех поступивших требований, была введена система событий . В работе для удобства отдельно определены величина математического ожидания дохода на всем периоде регенерации , математическое ожидание дохода в период регенерации, которое соответствует распределению, совместному с  событием -  и математическое ожидание дохода в период, на котором принято решение  - ). Было доказано, что математическое ожидание величины , являющейся длительностью периода задержки товара после того, как в систему поступило требование , имеет вид:

Также была введена вспомогательная величина

определяющая, что в систему поступили требования, количеством . Было рассмотрено соответствующее математическое ожидание и совместное распределение величин  и .

Для различных соотношений значений параметров  были рассмотрены соответствующие математические ожидания доходов системы и построены функционалы прибыли, которые в дальнейшем подлежат максимизации для нахождения оптимального уровня товара, с которого необходимо совершить заказ на новую партию продукции.

Отличия данной работы от работы [4]:

·        В период поступления заказа прекращается потребление, и не учитываются требования, поступившие в этот интервал времени

·        Вводятся новые затраты

·        Вводится система скидок

2.4 Система, функционирующая в период задержки с детерминированной скоростью потребления товара [5]

Сафонова Э.В. в своей работе рассматривает модель складского помещения, в котором в начальный момент времени находится товар объема . Скорость потребления продукции со склада является детерминированной величиной . В данной модели помимо основного заказа продукции возможен и резервный (требования), поступающий в период задержки товара. После заказа новой партии товара на склад происходит период задержки продукции , который является случайной величиной с заданным распределением. В период задержки реализация товара происходит с такой же скоростью .

Стоит отметить, что стоимость товара заказанного во время периода задержки превышает основную стоимость. После прихода товара на склад, объем продукции возвращается к своему первоначальному значению.

Целью данной работы являлось построение функционала прибыли, который является показателем эффективности работы системы. Так с помощью максимизации функционала, в дальнейшем можно найти оптимальный уровень товара на складе , при котором необходимо сделать заказ на новую партию продукции, чтобы достичь наибольшей прибыли.