Курсовая работа (т): Оптимальное управление запасом

В работе был рассмотрен соответствующий регенерирующий процесс . Были введены стоимостные характеристики, определяющие поведение системы. Также был определен стоимостной аддитивный функционал , определяющий значение прибыли в момент времени  В период регенерации  cправедливо соотношение:

,

где  - период времени с начала реализации товара,  - период регенерации,  - параметр управления,  - случайная функция (приращение).

Для построения среднего взвешенного дохода в единицу времени в работе используется эргодическая теорема:

оптимальное управление запас модель

где  - стоимостной показатель,  - математическое ожидание приращения , то есть стоимостного функционала,  - математическое ожидание приращения , то есть периода регенерации.

В работе для данной модели был построен стоимостной функционал, для которого была доказана теорема о представлении его в виде дробно-линейного функционала. Также было выявлено, что необходимо исследовать данный функционал на экстремум, чтобы найти оптимальную стратегию заказа. Исследованы свойства данного функционала, такие как непрерывность и наличие предела.

Отличия данной работы от работы [5]:

·        Система не функционирует в период задержки товара, то есть не учитываются требования, поступившие в период задержки товара

·        Скорость потребления товара является детерминированной величиной

·        Вводятся новые стоимостные характеристики

·        Наличие системы скидок

Глава 2. Задача оптимального управления запасом

1. Описание модели регенерации и её исходные характеристики

Рассмотрим стохастическую модель и найдем оптимальную стратегию заказа новой партии товара.

Исследуемая система представляет собой хранилище, с которого и производится дальнейшая продажа товара. В первоначальный момент времени в хранилище имеется единиц m товара, где . В дальнейшем производится поштучная реализация товара. Заказ новой партии происходит, когда объём товара достигает уровня r. В данной модели необходимо определение данного уровня r. Необходимо также отметить, что модель ориентируется на максимизацию прибыли. В период задержки, который представляет собой интервал от момента заказа до момента пополнения, потребление прекращается. Так же отметим, что в данной работе рассматривается случай, в котором уровень товара на складе r, когда производится заказ на новую партию, является неотрицательной величиной, то есть .

1.1 Основные стоимостные характеристики системы

Для построения модели необходимо ввести различные стоимостные параметры, характеризующие доходы и затраты дальнейшее указание параметров стоимости. В первую очередь склад приобретает продукцию у производителя.

Стоимость закупки товара в объеме у изготовителя характеризуется параметром , где .

Существенной особенностью данной модели является наличие различного рода скидок на продукцию. В первую очередь, вводится скидка на продукцию, которую склад закупает у производителя. Изготовителю выгодно, чтобы именно его марка ушла на склад в больших размерах, следовательно, он предоставляет скидку , которая действует начиная с объема  товара на складе. Следовательно, при закупке товара в объеме  стоимость будет составлять , при  стоимость будет составлять .

 - затраты на транспортировку товара в размере , где .

Также рассматривается скидка на транспортировку , действующая с  - границы размера перевозимого товара в условиях скидки. Это происходит потому, что чаще всего легче (соответственно и дешевле) перевозить большое количество товара сразу. При транспортировке заказа в размере  стоимость будет составлять , при

 стоимость будет составлять .

Особенностью данной модели является наличие стоимости на организацию заказа - .

Под организацией заказа понимается затраты на оформление различного рода документов, проверка качества продукции, контроля над поставкой. Введем соответствующий показатель , действующий с  - размера заказа, с которого производится скидка. При организации заказа в размере стоимость будет составлять , при

 стоимость будет составлять .

Введем также следующие стоимостные параметры, определяемые без скидок.

,  - траты на хранение товара на складе в размере  за единицу времени.

 - накладные расходы, когда товар поступает на склад, то есть в период задержки, которые включают расходы на услуги связи, отслеживание товара.

 - накладные расходы при пополнении товара, то есть когда продажа не функционирует (расходы на рекламу, оплату коммунальных услуг).

Также введем показатель прибыли:  - доход от продажи k единиц товара после его поступления, то есть во время продажи.

1.2 Общее описание стохастической модели

Обозначим через  случайное время между последовательными моментами продажи очередной единицы товара на  ом периоде. Данные величины независимы и имеют распределение

то есть экспоненциальное, где ,  - произвольный период регенерации. Время, за которое реализуется товар в объеме , обозначается как  и имеет распределение

то есть распределение Эрланга. Как было сказано ранее, заказанный товар поступает на склад через случайное время (длительность задержки) , заданный случайным образом и имеющий заданное распределение . В каждый момент времени  производится поштучная реализация товара, где  - задаются случайным образом. Пусть  - период продажи товара, то есть  - момент старта реализации товара (после пополнения склада) на  ом периоде, а  - момент заказа нового объема товара на склад (когда производство приостанавливается). Также обозначим  как  - период поступления товара на склад (выполнение заказа), от момента заказа товара до момента нового старта его реализации.

Как было сказано выше, реализация товара во время поступления товара на склад прекращается, из этого следует, что

.

Определим сам случайный процесс. Обозначим его как  - объем товара в момент . В начальный момент времени на складе находится  товаров, то есть  Далее производится продажа товара, при достижении уровня производится заказ новой партии, проходит период задержки товара, и товар поступает на склад. После этого, процесс возвращается в свое начальное состояние, уровень товара на складе пополнен до уровня , и процесс повторяется независимо от прошлого, подчиняясь тем же законам. Таким образом, процесс является регенерационным. Так как модель носит регенерационный характер, то есть первоначальный объем восстанавливается до уровня, то есть объем новой партии .

Вернувшись к показателям стоимости, применим эргодическую теорему из работ [9], [10]. Средний удельный доход в единицу времени можно посчитать как отношение дохода в период регенерации к его средней продолжительности, то есть:

где  - это математическое ожидание приращения  - случайного процесса (накопленного дохода) за период регенерации, то есть стоимостного функционала,  - математическое ожидание длительности периода регенерации.