Материал: mtg_theme 4

Тема 4. Розв'язування геодезичних задач

dX X X 0 dx zY0 y Z0 ,

dZ Z Z0 dz y X 0 xY0 .

Кожен пункт Qi (i=1,2,...,n), координати якого відомі в двох референцних системах координат, утворює систему рівнянь (4.55). Шукані параметри зв’язку двох референцних систем координат можна обчислити з оцінкою точності, застосовуючи принцип найменших квадратів.

Розв'язування сформульованої вище задачі зв’язку двох референцних систем координат дістанемо за допомогою наступного алгоритму:

1) для спільних пунктів виконуємо перетворення геодезичних координат B,L,H в декартові X,Y,Z за допомогою формул (2.32);

2) визначаємо шість параметрів трансформування dx,dy,dz і x , y , z на основі формул (4.54) або

(4.55).

3)для пунктів загальноземної системи координат, які не належать до спільних, використовуючи параметри трансформування, знаходимо координати (X,Y,Z)REF в потрібній референцній системі;

4)перетворюємо обчислені в попередньому кроці координати із декартових (X,Y,Z)REF в геодезичні

(B,L,H)REF.

Точність переобчислених координат буде залежати:

від похибок формул, що застосовуються при обчисленнях;

від методів переходу виміряних елементів геодезичних мереж на поверхню референц-еліпсоїда;

від врівноважень, виконаних в геодезичних мережах кожної системи незалежно одна від другої.

4.6.Способи розв’язування головних геодезичних задач на поверхні еліпсоїда.

4.6.1. Розв’язування головних геодезичних задач методом із середніми аргументами (формули

Гаусса).

Пряма геодезична задача

Нехай на рис.4.7 крива Q1Q2 є геодезичною лінією між початковою точкою Q1 і кінцевою Q2.

P

Рис.4.7. Геометрична схема розвязування головної геодезичної задачі методом Гусса.

Візьмемо точку Qo, розташовану на середині геодезичної лінії Q1Q2. Застосувавши формули (4.32) до кожної частини геодезичної лінії, отримаємо для широти

Тема 4. Розв'язування геодезичних задач

Для різниць довгот та азимутів отримаємо аналогічно:

де нульовий індекс при похідних показує, що вони повинні обчислюватись за Bo і Ao. Отримані вирази мають перевагу перед формулами (4.32): члени з парними степенями відсутні, а в інших членах коефіцієнти при них зменшились в декілька раз. Проте координати точки Qo(Bo, Lo, Ao), яка розташована посередині геодезичної лінії

Q1Q2, не будуть рівні середньому значенню координат цих точок (Bm, Lm,, Am).

Залежності між цими координатами можна отримати, якщо додати рівняння (4.56) і поділити на два:

Як видно, ці залежності – малі величини другого порядку.

Приведені вище формули в загальному виді розв’язують поставлену задачу. Але оскільки ставиться за мету отримати різниці координат у функції Bm і Am, то потрібно встановити залежність між вказаними похідними. Вона виражається з допомогою наступного ряду Тейлора:

Часткові похідні, що входять в дану формулу дорівнюють:

З похибкою на малі величини четвертого порядку, остаточно отримаємо

Тема 4. Розв'язування геодезичних задач

Для різниці довгот та азимутів формули отримуються аналогічним чином. Запишемо ці формули в

Наведені скорочені формули для різниць широт, довгот та азимутів відрізняються від повних формул типу (4.58), які точні до величин четвертого порядку включно, лише на відкинуті малі величини порядку

s3 2 .

R3

В формулах (4.60)-(4.62) величини b,l,a – функції середньої широти Bm і середнього азимута Am, які невідомі. Невідомі також і аргументи b і l в поправочних членах вказаних формул. Тому пряма геодезична задача розв’язується методом послідовних наближень наступним чином.

Приймаємо b і a рівними нулю, тобто

Bm B1 ,

Am A1 ,

і з цими значеннями обчислюємо в першому наближенні bІ ,lІ ,aІ, а потім знаходимо

З цими наближеними значеннями знаходимо нові, більш точні значення Bm і Am та повторюємо обчислення b і a, а також l. Так поступають до тих пір, поки результати обчислень із двох суміжних наближень не стануть однаковими.

Для знаходження Am представимо формули (4.60) та (4.61) у виді

Довжину геодезичної лінії s легко знаходимо із рівнянь (4.64)

4.6.2. Розв’язування прямої геодезичної задачі методом допоміжної точки (формули Шрейбера)

Нехай на рис.4.8 PQ1Q2 – сфероїдний полярний трикутник, який потрібно розвязати за такими даними:

широтою B1 і довготою L1, довжиною s геодезичної лінії, що з'єднує точки Q1 i Q2, а також азимутом A1 цієї лінії в точці Q1 (прямий азимут).

Розділимо трикутник PQ1Q2 (див. рис.4.8.а) на два сфероїдних прямокутних трикутника геодезичною

лінією Q2С, яка перпендикулярна меридіану PQ1 початкової точки. Широту точки С позначимо через

Bo B1 b , а різницю широт Bo B2 - через d.

Вивід формул Шрейбера буде складатись із наступних етапів.

Із прямокутного сфероїдного трикутника Q1С Q2 за даними A1 і s визначають катети x і y,

використовуючи теорему Лежандра та сферичний надлишок цього трикутника. На рис. 4.8.б представлений трикутник Q1’Q2’C’, який відповідає сфероїдному трикутнику Q1 С Q2.

Застосовуючи формули розкладу в ряд (4.32) можна розв’язати пряму геодезичну задачу для точок Q1 і С.

Поскільки для цієї пари точок A1=0 і s=x, то все зводиться тільки до визначення різниці широт b.

Тема 4. Розв'язування геодезичних задач

За тими ж формулами розв’язують пряму геодезичну задачу з точки С , широта якої Bo B1 b тепер

вже відома, на точку Q2 , тобто при азимуті A1=90o та відстані s=y.

Рис.4.7. Геометрична схема розв’язування головної геодезичної задачі методом Шрейбера.

Отже, замість прямого застосування рядів (4.32) до точок Q1 і Q2 їх застосовують послідовно до точок Q1

і С , а потім до точок С і Q2, тобто у випадках, коли A=0o і A=90o.