Материал: mtg_theme 4

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

l L2 L1

Тема 4. Розв'язування геодезичних задач

Аналогічно поступають і при визначенні широти B2, тільки в цьому випадку вже

A 90o , s y :

y 2

B2 Bo

tgBo .

(4.72)

2 M o No

Застосуємо тепер другу і третю формули системи (4.32) для визначення приростів довготи l та азимута a

відповідно. При цьому враховуємо, що

A 90o , s y :

tg 2 Bo ,

No cos Bo

3 No

3 cos Bo

(4.73)

1 y 3

tgBo

tgBo (1 2tg

6 No 3

Відповідно

L1 l,

(4.74)

A 180o

a .

4.6.3. Розв’язування головних геодезичних задач методом переходу на поверхню сфери (формули

Бесселя)

Воснові способа Бесселя лежать умови:

1)геодезична лінія s між точками Q1 і Q2 еліпсоїда (рис.4.9.а) зображується на сфері дугою

великого кола між точками Q1' і Q2' (рис.4.9.б);

2)у відповідних точках геодезичної лінії і дуги великого кола азимути рівні;

Еліпсоїд	P
Еліпсоїд	Сфера
	l
	dl	0	u
			-	2
	9	0	-
		0


			u	1
			u
0	9	0	-
0

A1 m

1(B1 ,L2)

A1 2(B2 ,L2)

		A2

	d
m	n	2

а)

б)

Рис.4.9. Геометрична схема розв’язування головної геодезичної задачі методом Бесселя.

3)широта будь-якої точки на сфері рівна приведеній широті відповідної точки на еліпсоїді,

тобто сторони сферичного трикутника Q1' P' і Q2' P' відповідно рівні доповненням до 900 приведених

широт точок Q1 і Q2 на еліпсоїді.

Цими умовами забезпечується вище поставлена вимога однозначної відповідності між геодезичною

лінією на еліпсоїді і дугою великого кола на сфері. Така відповідність називається ще бесселевим зображенням.

Залишається встановити зв’язки між різницею довгот точок на еліпсоїді і аналогічною

величиною - на сфері; довжиною геодезичної лінії s на еліпсоїді і дугою великого кола на сфері. Хід отримання математичних формул цих зв’язків:

1.Вивід диференційних рівнянь, що встановлюють зв’язки між l і , s і .

Тема 4. Розв'язування геодезичних задач

2.Інтегрування отриманих диференційних рівнянь.

При наявності всіх необхідних зв’язків між відповідними величинами на еліпсоїді і сфері головні

геодезичні задачі способом Бесселя розв’язуються за наступним планом:

а) перехід від елементів сфероїдного трикутника Q1 PQ2 до елементів сферичного трикутника

Q1' P' Q2' (рис. 4.9 а) і б));

б) розв’язування геодезичних задач (прямої чи оберненої) на сфері;

с) перехід від обчислених елементів сферичного трикутника, стосовно розв'язування прямої чи

оберненої задачі, до відповідних елементів на еліпсоїді.

Вивід диференційних рівнянь Бесселя

Позначимо (рис. 4.9 ):

ds -

нескінченно малий елемент

геодезичної

лінії

s на еліпсоїді,

якому відповідає

елемент

d m' n'

в бесселевому зображенні на сфері;

- азимут елемента ds ;

B і u - геодезична і приведена широти точки m ; du і dl - різниці широт і довгот точок m і n ; d -

різниця довгот точок m' і n' на сфері.

З цими позначеннями, прийнявши радіус сфери за одиницю, матимемо

du d cos

(4.75)

MdB ds cos

d cos u d sin

(4.76)

N cos Bdl

ds sin

звідки отримуємо

(4.77)

N cos B

(4.78)

cos u

На основі (2.19)

sin u

1 e2

sin B

1 e2

sin2

отримаємо

cos B

e2 sin2 B cos B

cosudu

1 e

dB .

(4.79)

(1 e

sin

(1 e

sin

Із (2.17) отримаємо

cos B

1 e2

1 e

(4.80)

cos u

1 e2 cos2 u

На основі (4.79) з врахуванням (4.80), а також помноживши чисельник і знаменник в (4.79) на a ,

отримуємо

(4.81)

1 e2 cos2 u

Тема 4. Розв'язування геодезичних задач
Вираз (4.81) з врахуванням (4.77) буде дорівнювати
	M	1		M	d	,
	a			M		,
	a		1 e2 cos2 u		ds
звідки

	ds a 1 e2 cos2 ud .						(4.82)

На основі (4.78) і (4.82)

N cos Bdl a cos u1 e2 cos2 u d ,

а, враховуючи, що a cos u r N cos B , отримуємо

1 e2 cos2 u d

(4.83)

Інтегрування диференційних рівнянь Бесселя

Інтегруючи диференційні рівняння (4.82) і (4.83) уздовж дуги великого кола між її точками Q1 і Q2 ,

отримуємо

	Q2
s a		1 e2 cos2 u d ,			(4.84)
	Q1
			Q2
l L2	L1			1 e2 cos2 u d ,	(4.85)
			Q1

еліптичні інтеграли, які в елементарних функціях не виражаються. З практичної точки зору це не є суттєвою перешкодою, оскільки можна знайти їх наближені вирази, придатні для обчислень з будь-якою, необхідною для практики, точністю.

Враховуючи вимоги обчислювальної практики з використанням сучасної комп’ютерної техніки,

доцільно для наближеного інтегрування рівнянь Бесселя застосувати розклад підінтегральних виразів в ряди,

що швидко сходяться, з наступним почленним інтегруванням рядів.

Почнемо з інтегралу (4.84). Передусім перетворимо його підінтегральну функцію, виразивши її аргумент

- приведену широту – через змінну .

Звернемось до рис.4.10, на якому із точки P' проведено дугу великого кола перпендикулярно до продовження дуги Q1 'Q2 ' .

Рис. 4.10. До виводу формул Бесселя

		A2
A1		900-(M+ )

	0
	90	-M
	90

Тема 4. Розв'язування геодезичних задач

Утворився прямокутний трикутник

P'Q 'Q

катети

якого

P'Q

' k

Q 'Q ' 90o

знайдуться за формулами

sin m sin A1 cos u1 ,

(4.86)

tgM

tgu1

(4.87)

cos A1

Із прямокутного трикутника Q2 ' P'Q3 ' , розглядаючи точку Q2 '

як точку

на

дузі

великого

кола

Q1 'Q3 ' , тобто з широтою u , запишемо

sin u cos m sin(M ),

(4.88)

звідки

cos2 u 1 cos2

m sin 2 (M ).

(4.89)

Тепер перетворимо рівняння (4.84)

2 e2

cos2

m sin 2 (M ) d

s a 1 e

1 e2

cos2 m sin 2 (M ) d .

1 e

Враховуємо, що

e'2 ,

a 1 e2

b , де b мала піввісь еліпсоїда; тоді

1 e2

1 e'2

cos2 msin2 (M ) d .

s b

Введемо позначення для сталого коефіцієнта заданої геодезичної лінії в підінтегральній функції

k' e'2

cos2 m e'2

(1 sin 2 A cos2 u

) e'2 (1 k 2 ),

(4.90)

де k cos u1 sin A1 .

Тоді

s b

1 k'sin 2 (M ) d .

(4.91)

Підінтегральну функцію розкладемо в ряд за формулою бінома Ньютона

1 k'sin 2 (M )

sin 2 (M )

k'2

sin 4 (M )

k'3

sin 6 (M ) ...

Оскільки величина

вміщує ексцентриситет ( e'2

)

– малу величину, то, очевидно, що цей ряд

150

доволі швидко сходиться .

Замінимо синуси парних степенів через косинуси кратних дуг, на основі співвідношень:

								Тема 4. Розв'язування геодезичних задач
	sin2(M )									1		1		cos2(M )
	sin2(M )													cos2(M )
									2		2
									2		2
		4							3		1														1
	sin (M )													cos2(M )													cos4(M )								,	(4.92)
	sin (M )													cos2(M )													cos4(M )								,	(4.92)
									8		2														8
		6							5		15															3							1
	sin (M )														cos2(M )													cos4(M )						cos6(M	)
	sin (M )														cos2(M )													cos4(M )						cos6(M	)
									16		32															16							32
Згрупуємо коефіцієнти при кожній функції з однаковим аргументом і введемо позначення
														1					3						2			5			3
								A 1								k'						k'								k'		...
								A 1								k'			64			k'								k'		...
														4					64							256
									1							1									15
								B	1				k'			1		k'			2				15			k'	3	...

																16							512
									4							16							512													(4.93)
											1										3												.			(4.93)
							C				1				k'2						3			k'3 ...
							C								k'2				512					k'3 ...
									128										512
											1
								D			1						k'3 ...
								D									k'3 ...
									1536
Тепер вираз (4.91) запишемо в вигляді

	s b A Bcos2(M ) 2Ccos4(M ) 3Dcos6(M ) ... d .																																			(3.94)
			0
Зауважимо, що величина M , яка визначається за формулою (4.87), для даної геодезичної лінії величина
стала; інтеграли тригонометричних функцій в рівності (4.94) обчислюються так:
				1
B cos 2(M ) d			B					sin 2(M ) B sin cos(2M ),
B cos 2(M ) d			B		2			sin 2(M ) B sin cos(2M ),
0			0		2
				1
2C cos4(M ) d 2C								sin4(M ) Csin2 cos(4M 2 ), (3.95)
2C cos4(M ) d 2C					4			sin4(M ) Csin2 cos(4M 2 ), (3.95)
0			0		4
						1
3D cos6(M ) d			3D						sin6(M ) Dsin3 cos(6M 3 ).
3D cos6(M ) d			3D					6	sin6(M ) Dsin3 cos(6M 3 ).
0					0			6
В результаті інтегрування (4.94) отримаємо вираз для s в функції дуги
	A B sin cos(2M ) C sin 2 cos(4M 2 )																																			(4.96)
s b																																			.	(4.96)
	D sin 3 cos(6M 3 ) ...
Ця формула застосовується при розв’язуванні оберненої геодезичної задачі. При розв’язуванні прямої
геодезичної задачі величина s відома, треба визначити . Розв’язуючи (4.96) щодо , знайдемо
		s
1				B sin cos(2M ) C sin 2 cos(4M 2 )
1				B sin cos(2M ) C sin 2 cos(4M 2 )
		b																																		(4.97)
	A	b																																		(4.97)
	A
		D sin 3 cos(6M 3 ) ...
За формулою (4.97)			сферична								відстань												визначається										послідовними		наближеннями. В	першому
наближенні можна прийняти
																				1									s				,

																											Aa		1 e2
																											Aa		1 e2

після чого (4.97) запишеться в вигляді

i 1	1 A i	B sin i cos(2M i ) C sin 2 i


	A D sin 3 i cos(6M 3 i ) ...

де i 1,2,...,n - номер наближення.

cos(4M 2 i ) ,

Источник: https://studfile.net/preview/16666760/

Смотрите также:



ЦЕНОВАЯ ПОЛИТИКА ПРЕДПРИЯТИЯ НА ПРИМЕРЕ ООО «ДНС РИТЕЙЛ»
_archivetempпротивовоспалительные
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
- Обратный порядок следования фаз 4
- Сопротивление изоляции 25
!_Лабораторные_работы_1_сем_ОУТС
!Контрольная работа (задание)
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей

Материал: mtg_theme 4

Вивід диференційних рівнянь Бесселя

Вираз (4.81) з врахуванням (4.77) буде дорівнювати

Інтегрування диференційних рівнянь Бесселя

Смотрите также: