Материал: mtg_theme 4

Тема 4. Розв'язування геодезичних задач

Здійснивши паралельне зміщення еліпсоїда в просторі разом з осями координат OXYZ , отримаємо додаткові зміни геодезичних координат. Зміняться на цей раз і прямокутні координати всіх точок (в результаті переносу початку координат) на величини dx, dy, dz.

Вказані зміщення (перехід від одної системи геодезичних координат до другої) можна проіллюструвати геометрично (рис. 4.6).

В загальному вигляді залежності між всіма вказаними змінами можна записати у вигляді системи диференційних рівнянь

Рис.4.6. Геометричне трактування зміни геодезичних координат.

Диференціали da, d та dB, dL, dH, dx,dy,dz представляють собою поправки до старих значень розмірів еліпсоїда (a,) і координат (B,L,H,X,Y,Z) довільної точки простору для отримання нових значень цих величин в другій системі геодезичних координат.

Часткові похідні в рівняннях ( 4.49) знаходимо шляхом диференціювання по відповідних змінних правих частин рівнянь (4.43). Раніше (див. п.4.5.2) нами вже отримано частину похідних (4.46). Аналогічним чином знаходять і інші похідні в (4.49).

Підставивши ці похідні в рівняння (4.49) та після відповідних перетворень, отримаємо остаточно

(M H )dB dx sin B cos L dy sin B sin L dz cos B

Тема 4. Розв'язування геодезичних задач

Умовою застосування вказаних диференційних формул є паралельність осей обертання та площин

початкових меридіанів обох еліпсоїдів.

Отримані вище формули можуть використовуватись для:

обчислення поправок в координати при переході до другої референцної системи координат (при відомих параметрах da, d , dx,dy,dz);

встановлення нової референцної системи координат (визначення вказаних п’яти невідомих параметрів).

Поправки da, d легко знайти, оскільки параметри еліпсоїдів, що застосовуються в практичних роботах,

переважно відомі. Що стосується інших трьох поправок, то вони визначаються наступним чином. За геодезичними координатами декількох пунктів Qi (i=1,2,...,n), відомими в двох системах координат, з

допомогою формул (4.50-4.52) можна визначити лінійний зсув dx,dy,dz одної системи відліку геодезичних координат відносно другої (така операція над координатами називається трансформуванням координат).

Вказану задачу можна сформулювати ще так. Дано координати окремих пунктів геодезичної мережі - (X,Y,Z), визначених з допомогою GNSS в деякій референцній системі, наприклад, WGS-84. Обчислити параметри трансформування для геодезичної мережі, у якій більшість пунктів є з відомими координатами B,L,H

в національній/місцевій референцній системі, причому деякі з них є спільними (відомі координати в обох референцних системах).

Розв'язування цієї задачі дістанемо за допомогою наступного алгоритму:

для спільних пунктів виконуємо перетворення декартових X,Y,Z, заданих в системі WGS-84 в

геодезичні B,L,H координати за допомогою формул ( 2.33));

визначаємо три параметри трансформування dx,dy,dz на основі формул (4.50-4.52 );

для пунктів GNSS, які не належать до спільних, використовуючи параметри трансформування,

знаходимо координати (B,L,H)REF в національній/місцевій референцній системі;

Нехай референцна система XYZ визначена в іншій системі X0Y0Z0 положенням початку координат dx,dy,dz

і кутами x, y, z, на які треба повернути систему XYZ відповідно навколо осей X, Y, Z, щоб ці осі стали паралельні відповідно осям X0,Y0, Z0.

В такій постановці декартові координати із одної системи в іншу будуть перетворюватись за формулами:

При невеликих кутах повороту осей однієї системи координат відносно другої, що має місце в практиці,

матриця перетворення R має елементи

У формулі (4.54) R' - транспонована матриця R, - масштабний множник. Трансформування координат

(4.54) називається ще трансформацією Гельмерта.

Формулу (4.54) можна представити і в такому виді: