Материал: mtg_theme 4

Тема 4. Розв'язування геодезичних задач

розв'язування головних геодезичних задач на сфері;

обчислення за елементами на сфері відповідних елементів на еліпсоїді, тобто провести зворотній перехід зі сфери на еліпсоїд.

Перехід з еліпсоїда на сферу, котре ще називають геодезичним зображенням, базується на зображенні геодезичної лінії еліпсоїда на сфері у вигляді дуги великого кола, причому кожній точці геодезичної лінії відповідала б єдина точка дуги великого кола як її зображення. Така відповідність вважається встановленою,

якщо знайдені математичні залежності між елементами B, L, A, s в кожній точці геодезичної лінії на еліпсоїді та елементами , , , у відповідній точці дуги великого кола на сфері.

В загальному вигляді ці залежності можна записати системою наступних диференційних рівнянь:

аргумент радіусів кривини M і N еліпсоїда.

Проінтегрувавши диференційні рівняння (4.30) при певних умовах, можна отримати необхідні формули для взаємного переходу з еліпсоїда на сферу. Одним із найбільш відомих способів розв’язування головної геодезичної задачі вказаним вище шляхом є спосіб Бесселя.

Саме такий варіант є практичним втіленням так званого прямого шляху розв’язування головних геодезичних задач. Прямий шлях полягає в безпосередньому розв’язуванні сфероїдного трикутника Q1PQ2 (див.

рис.4.1) за відомими двома сторонами і кутом між ними, а саме:

в прямій геодезичній задачі відомі сторони Q1P = 900-B1; Q1Q2=s і кут A1, із розв'язування трикутника визначаються інші його елементи - різниця довгот l , котра служить для визначення геодезичної довготи L2, сторона Q2P = 900 - B2 і кут A2’ (A2 = 3600 - A2’);

в оберненій геодезичній задачі відомі сторони Q1P, Q2P та різниця довгот l ; із розв'язування трикутника визначається строна s , кут A1 і кут A2’, за яким обчислюють азимут A2 = 3600 - A2’.

Розв’язування таких значних за розмірами трикутників пов’язано з досить великими труднощами, адже при цьому немає кінцевих замкнутих формул, оскільки сторони сфероїдних трикутників, що представляють собою дуги меридіанів і паралелей та геодезичні лінії на поверхні еліпсоїда, виражаються еліптичними інтегралами.

Ось чому на практиці, при розв’язуванні сфероїдних трикутників, їх спочатку проектують на допоміжну сферу,

на котрій виконують розв'язування, після чого здійснюють обернений перехід на еліпсоїд.

У всіх способах прямого шляху розв’язування головних геодезичних задач сферична поверхня використовується як проміжна інстанція, причому вона може бути використана і при виводі формул, і в процесі практичних обчислень. Способи, що базуються на прямому шляху, придатні для розв’язування прямих та обернених геодезичних задач на поверхні земного еліпсоїда при будь-яких віддалях між двома точками і з будь-

якою практично необхідною точністю.

Побічний шлях полягає у визначенні приростів (різниць) широт, довгот і азимутів у функції заданих величин, після чого за знайденими приростами визначаються остаточні величини.

Так, наприклад, при розв’язуванні прямої геодезичної задачі попередньо визначаються різниці:

Тема 4. Розв'язування геодезичних задач

У виразах для похідних п’ятого порядку (4.34), (4.35), (4.36) знехтувано стисненням еліпсоїда ( =0) та прийнято, що M=N=R, де R - середній радіус еліпсоїда (земної кулі; можна прийняти R=a).

Практичні розрахунки показують, що з врахуванням похідних до третього порядку можна розв’язувати пряму геодезичну задачу на відстані до 40 км з точністю 0.0002” в широті та довготі і 0.001” в азимуті, а з врахуванням наведених похідних до п’ятого порядку і до 100 км з такою ж точністю.

Обчислення за цими формулами при “ручних” рахунках були надзвичайно громідзкими, тому застосовувались певні раціональні прийоми, що дозволяли перетворювати формули для їх широкого практичного застосування. Вкажемо лише на два з них, що мали широке практичне використання при опрацюванні геодезичних мереж 1-го класу: метод допоміжної точки Шрейбера та метод середніх аргументів Гаусса.

В зв’язку з широким впровадженням комп’ютерної техніки на даний час можна вважати, що найбільш оптимальним шляхом розв’язування головних геодезичних задач є використання числових методів інтегрування диференційних рівнянь (4.27) і (4.28). Одним із найефективніших чисельних методів для вказаної задачі є метод Рунге-Кутта четвертого порядку. Детальніше про цей шлях буде розглянуто в п.4.6.4.

в) в просторі

Для розв’язування головних геодезичних задач в просторі використовують системи просторових декартових (X, Y, Z), геодезичних (B, L, H) та топоцентричних горизонтальних - декартових (x’, y’,z’) та полярних (A, z,D) координат і зв’язки між ними (див. розділи 1 і 2).

Пряма геодезична задача формулюється наступним чином. Задані геодезичні координати B1,L1,H1

початкової точки Q1 і топоцентричні полярні координати z12, A12, D точки Q2 відносно початкової точки Q1.

Необхідно визначити геодезичні координати B2,L2,H2 точки Q2.

Поставлену задачу розв’язують в такій послідовності:

а) за формулами зв’язку (2.32) обчислюють просторові декартові координати X1,Y1,Z1 точки Q1;

б) обчислюють елементи матриці перетворення координат A1 за формулою (2.37).

в) використовуючи формули (2.34), обчислюють топоцентричні декартові координати x2’,y2’,z2’;

г) за формулою (2.36) обчислюють декартові координати X2,Y2,Z2 точки Q2;

д) для переходу до геодезичних координат B2,L2,H2 точки Q2 використовують формули зв’язку (2.33).

Обернена геодезична задача . Задані геодезичні координати B,L,H двох точок Q1 та Q2. Необхідно знайти топоцентричні полярні координати z12, A12, D точки Q2 відносно початкової точки Q1.

Для розв’язування поставленої задачі можна застосувати таку схему:

а) від геодезичних координат B,L,H точок Q1 та Q2 за формулами (2.32) переходять до декартових

Xi,Yi,Zi (де і=1,2);

б) обчислюють елементи транспонованої матриці перетворення координат A2' за формулою

в) за формулою (2.38) обчислюють топоцентричні декартові координати xi’,yi’,zi’ (і=1,2) точки Q1

відносно точки Q2 і навпаки.