Документ: mtg_theme 4, страницы 6-10 | База студенческих работ

Материал: mtg_theme 4

Таблиця 4.1Допустимі вхідні дані для обчислення сферичного надлишку

Згідно теореми Лежандра, значення кутів плоского (лежандрового) трикутника буде

Позначивши

Пряма геодезична задача

Обернена геодезична задача.

Шляхом ділення рівнянь (4.19) на (4.18) дістанемо формулу для оберненого азимута

Для обчислення оберненого азимута необхідно розділити рівняння (4.13) на (4.15)

Таблиця 4.1Допустимі вхідні дані для обчислення сферичного надлишку

Згідно теореми Лежандра, значення кутів плоского (лежандрового) трикутника буде

Позначивши

Пряма геодезична задача

Обернена геодезична задача.

Шляхом ділення рівнянь (4.19) на (4.18) дістанемо формулу для оберненого азимута

Для обчислення оберненого азимута необхідно розділити рівняння (4.13) на (4.15)

Смотрите также:

ABC

Тема 4. Розв'язування геодезичних задач
Продиференціювавши дану формулу за змінними s та , отримаємо
	d "	s	sin "ds,
	d "	R2	sin "ds,
		R2
	d "	s2		cos "d .
	d "	2R	2	cos "d .
		2R	2
Прийнявши, що d 0.0005" та	600 , знайдемо допустимі похибки сторін ds і				кутів d для

різних довжин сторін малого сферичного трикутника (табл. 4.1). В табл. 4.1 приведено також можливі значення сферичного надлишку для рівносторонніх трикутників.

s, к	ds,	d "	"
м	м
30	4	90	2
50	2	30	5
100	1	10	20

Одним із основних застосувань сферичного надлишку	є виявлення нев’язки	у трикутнику
тріангуляції
(A B C) (1800	).	(4.5)

Способи розв’язування малих сфероїдних трикутників а) за формулами сферичної тригонометрії

Розв’язування малих сфероїдних трикутників, як було вже зазначено, зводиться до розв'язування сферичних трикутників за формулами сферичної тригонометрії. Так для трикутника ABC (рис. 4.2) при

заданій стороні a та кутах

A, B,C , на основі формули синусів, запишемо

sin

b

sin

a

sin B

,

R

R sin A

(4.6)

c

a

sin C

sin

.

R

R sin A

де радіус сфери

R визначається як функція середньої широти B , на якій розташований трикутник, за

a 1 e2

відомими формулами

R

MN

.

1 e2 sin 2

B

Недоліком даного способу є те, що сторони трикутника виражаються в частинах радіуса, а також необхідність визначати тригонометричні функції малих кутів з досить високою точністю (10-12 розрядів).

б) за теоремою Лежандра

Теорема Лежандра для малих сферичних трикутників: якщо сторони плоского і сферичного трикутників відповідно рівні між собою, то кути плоского трикутника рівні кутам сферичного трикутника, зменшеними на одну третину сферичного надлишку.

Нехай - сферичний, а A' B'C' - плоский трикутник, сторони якого рівні відповідним сторонам сферичного трикутника (рис. 4.3). Такий трикутник носить назву лежандровий трикутник.

	B	B
	B
c	a c	a

Рис.4.3. До розвязування сферичного трикутника за теоремою Лежандра

A	b	C	A	b	C
A	b

Тема 4. Розв'язування геодезичних задач

A' A , 3

B' B	,		(4.7)

3
C' C		.

3
Сферичний надлишок можна обчислити, наприклад, за формулами (4.4).
Отже, якщо у сферичному трикутнику ABC відома вихідна сторона, наприклад, c			і сферичні кути

A, B,C (див. рис.4.3), то за першою формулою (4.4) обчислюємо сферичний надлишок трикутника і

знаходимо плоскі кути A', B',C'. Потім розв’язуємо трикутник за стороною c та знайденими плоскими

кутами, застосовуючи формули плоскої тригонометрії (теорему синусів), тобто

b c sin B' ,

sin C'

(4.8)

a c sin A' . sin C'

Точність розв'язування сферичних трикутників, які можна розв’язувати за теоремою Лежандра, залежить не тільки від розмірів сторін, але і від форми трикутника. Аналізом формул встановлено, що допустимі розміри сторін трикутника знаходяться в межах від 75 до 150 км.

в) за способом аддитаментів

У попередньому способі для застосування формул плоскої тригонометрії вводилися поправки за сферичність у кути.

Можливим є також спосіб використання сферичних кутів, але з введенням поправок в сторони трикутника. Розглянемо даний спосіб.

Із сферичного трикутника ABC (рис.4.3) за теоремою синусів маємо

sin b sin c sin B ,

R

R sin C

де c - відома сторона, b - шукана сторона даного сферичного трикутника.

Оскільки сторони сферичного трикутника є малими в порівнянні з радіусом сфери тригонометричні функції розкладемо в ряд, обмежуючись членами третього порядку:

b

3

c

3

sin B

b

2

.

c

6R

6R

sin C

c3

AC ,

c' c AC ,

6R2

і, крім того

sin B

c'

b',

sin A

напишемо

sin B

b

2

b

2

b'

3

b c'

2

b'

2

b'

2 .

1

6R

1

6R

sin C

Або остаточно

b b' Ab ,

і, аналогічно, для другої сторони

a a' Aa .

(4.9)

R , то їх

(4.10)

(4.11)

Тема 4. Розв'язування геодезичних задач

З цих формул видно, що головні члени представляють собою розв'язування сферичного трикутника як

розв'язування сферичного трикутника за формулами (3.10), (3.11) називають способом аддитаментів. Строго кажучи, аддитаментами називалися малі поправки до логарифму головного члена, коли формули виводились із застосуванням логарифмів. Хоча логарифмічні методи втратили своє значення і на практиці не застосовуються, проте в назвах окремих способів, і в тому числі при розв’язуванні сферичних трикутників, збереглися первісні терміни.

Отже, якщо від вихідної сторони відняти її аддитамент і розв’язати трикутник зі сферичними кутами за формулами плоскої тригонометрії, то, додавши до знайдених довжин сторін їхні аддитаменти, отримаємо довжини сторін сферичного трикутника.

Точність розв’язування малих сферичних трикутників способом аддитаментів є аналогічною, як і для розв’язування їх за теоремою Лежандра.

г) за виміряними сторонами

У випадку, коли в геодезичній мережі вимірюються лише сторони трикутників, виникає потреба обчислення горизонтальних кутів, які в подальшому можуть мати окреме застосування, наприклад, для передачі геодезичного азимута від однієї сторони до іншої.

Порядок обчислень при цьому буде наступний. Виміряні між пунктами прямолінійні відстані редукують на поверхню еліпсоїда, згідно теорії редукцій геодезичних вимірювань з фізичної поверхні Землі на поверхню еліпсоїда.

За знайденими таким чином сторонами a,b, c сферичного трикутника ABC обчислюють плоскі кути

A', B',C' (див. рис.4.3), використовуючи наступні формули плоскої тригонометрії:

p1 (a b c), 2

tg

A'

( p b)( p c)

,

tg

B'

( p c)( p a)

,

2

p( p a)

2

p( p b)

C'

tg

( p a)( p b)

,

2

p( p c)

Якщо довжини сторін не перевищують 100 км, то достатньо обчислити сферичний надлишок за формулами (4.2), а потім одну третину його додати до кожного плоского кута A', B',C' згідно формули (4.7).

4.4.2. Розв’язування головних геодезичних задач

а) на поверхні сфери

Використання сфери вигідно, в першу чергу, для наближеного розв’язування головних геодезичних задач

- прямої та оберненої.

Введемо наступні позначення координат на сфері (рис.4.4):

- географічна широта; - географічна довгота; - азимут дуги великого кола;

s

- сферична відстань (довжина дуги великого кола, виражена в частинах радіуса сфери , R ).

P



P0

a)

1

P

2

б)

Рис. 4.4. Геометричне трактування головної геодезичної задачі на сфері.

Тема 4. Розв'язування геодезичних задач

Нехай задані географічні координати 1, 1 деякої точки Q1 (рис. 4.4б), а також полярні координати і1 другої точки Q2. Вимагається за цими даними знайти географічні координати 2, 2 точки Q2 і азимут 2 з

другої точки на першу. Таким чином, пряма геодезична задача полягає в перетворенні полярних координат в географічні (сферичні).

Нехай задані географічні координати 1, 1 і 2, 2 двох точок Q1 і Q2 (рис. 4.4б). Необхідно знайти найкоротшу відстань (довжину дуги великого кола) між даними точками та азимути 1 і 2 з однієї точки на другу. Отже, обернена геодезична задача зводиться до перетворення географічних (сферичних) координат в полярні.

Розв’язування прямої і оберненої геодезичних задач на сфері, як легко можна побачити, представляє собою розв'язування полярного сферичного трикутника Q1PQ2 (рис.3.4б). В даному випадку розв'язування цього трикутника зводиться до визначення за двома сторонами і кутом між ними третьої сторони та прилеглих до неї кутів. Для розв'язування можна використати замкнуті формули сферичної тригонометрії:

sin sin 1

sin cos 2

(4.12)

sin sin 2

sin cos 1

(4.13)

sin cos 1

cos 1 sin 2

sin 1 cos 2 cos

(4.14)

sin cos 2

sin 1 cos 2

cos 1 sin 2 cos

(4.15)

cos sin 1 sin 2 cos 1 cos 2 cos

(4.16)

cos 2 cos cos 1 cos sin 1 sin cos 1

(4.17)

cos 2 cos 2 sin 1 sin cos 1 cos cos 1

(4.18)

cos 2 sin 2

cos 1 sin 1

(4.19)

sin 2 sin 1 cos cos 1 sin cos 1

(4.20)

Формули для розв’язування прямої геодезичної задачі:

tg 2

sin 2

,

(4.21)

1 sin 2 2

де sin 2

визначається за формулою (4.20). Різниця довгот знайдеться, якщо розділити рівняння (4.12) на

(4.17)

tg

sin sin 1

.

(4.22)

cos 1

cos sin 1 sin cos 1

2 1 .

tg 2	'		cos 1 sin 1		.	(4.23)
		cos 1	cos cos 1 sin 1
				sin

2 2 ' 1800 .

Формули для розв’язування оберненої геодезичної задачі:

Для обчислення прямого азимута треба розділити рівняння (4.12) на (4.14)

tg 1	sin cos 2		y
				.	(4.24)
	cos 1 sin 2	sin 1 cos 2 cos
			x

Тема 4. Розв'язування геодезичних задач

sin cos 1

tg 2 ' . (4.25)

cos 1 sin 2 cos sin 1 cos 2

2 2 ' 1800 .

Формулу для sin отримаємо, якщо помножимо рівняння (4.12) на sin1, а рівняння (4.14) - на cos1 і

додамо їх

sin cos 2 sin sin 1 (cos 1 sin 2 sin 1 cos 2 cos )cos 1

(4.26)

y sin 1 x cos 1.

Обчислення арксинуса можна замінити обчисленням арктангенса, використавши формулу зв’язку,

аналогічну (4.21).

Із трикутника Q1PQ2 (див. рис. 4.4.б) можна отримати і інші варіанти формул для розв’язування прямої та оберненої геодезичних задач на поверхні сфери.

б) на поверхні еліпсоїда

В практиці розв'язування головних геодезичних задач на поверхні еліпсоїда між точками 1 і 2

використовуються різноманітні лінії, що дають однозначне положення точки 2 по відношенню до точки 1. За такі лінії можна прийняти прямий нормальний переріз, геодезичну лінію, центральний переріз, хорду тощо.

Використання кожної з вказаних ліній вносить свої особливості в методи розв’язування головних геодезичних задач на поверхні еліпсоїда. Ми будемо розглядати тільки ті методи, які базуються на використанні геодезичної лінії і найбільш часто зустрічаються в практиці.

Раніше нами були отримані диференційні рівняння, що характеризують зміну широти і довготи при переміщені вздовж будь-якої кривої на поверхні еліпсоїда


		dB	cos A
				,
				,
		ds	M				(4.27)
		dL	sin A				(4.27)
		dL	sin A
						,
						,
		ds	N cos B
і зміна азимуту вздовж геодезичної лінії
	dA		sin A
					sin B.		(4.28)
					sin B.		(4.28)

ds N cosB

Ці три рівняння представляють собою систему звичайних диференційних рівнянь першого порядку, що пов’язують чотири змінних - B, L, A, s, з яких довжина геодезичної лінії s прийнята як незалежна змінна.

Проінтегрувавши їх по незалежній змінній s між точками Q1 і Q2,, отримаємо

			Q2		cos A
B2	B1		Q1				ds,
B2	B1				M		ds,
					M
L2	L1		Q2		sin A			ds,
			Q1						(4.29)
				N cos B					(4.29)
				N cos B				sin A
A	A	1800				Q2		sin A	sin Bds.
A	A	1800				Q1			sin Bds.
2	1							N cos B
								N cos B

Інтеграли (4.29) не виражаються в елементарних функціях, тому для їх наближеного розв'язування застосовують розклади в ряди або підінтегральних функцій або самих інтегралів з наступним почленним інтегруванням кожного ряду. При цьому для практичного застосування можливими є два варіанти їх розв'язування.

Оскільки розв'язування головних геодезичних задач на сфері виконується строго за формулами сферичної тригонометрії (див. п. 4.4.2.а), а форма земного еліпсоїда незначно відрізняється від сфери,

доцільним є наступний порядок розв'язування:

обчислення за заданими елементами на еліпсоїді відповідних елементів на сфері, тобто здійснити перехід з еліпсоїда на сферу;

плоского, причому кути в них є сферичними. Поправочні члени A

називають аддитаментами. Тому і