Материал: Московский финансовопромышленный университет Синергия Кафедра Информационных систем и технологий

45 min max
,
1, 2, ... , 6 2
k
k
k
t
t
t
k



Значения заносим в столбец, добавляемый к таблице справа:
tмин
tмакс
f
tср
1
0 5
27 2,5
2
5 10 23 7,5
3
10 15 18 12,5
4
15 20 11 17,5
5
20 25 8
22,5
6
25 30 3
27,5
Находим среднее время
s
t
6 1
6 1
10, 22
k
k
k
s
k
k
t f
t
мин
f






и, предварительно подсчитав в ячейках отдельного столбца входящие в выражение для среднего времени произведения
k
k f

tмин
tмакс
f
k
t
k
k f

1
0 5
27 2,5 67,5
2
5 10 23 7,5 173
3
10 15 18 12,5 225
4
15 20 11 17,5 193
5
20 25 8
22,5 180
6
25 30 3
27,5 82,5
Σ
90 определяем интенсивность обслуживания μ:
s
-1
мин
1
=
=0,10
t

.
По формуле:

46 min max
6 1
(
),
90
k
k
t
t
T
k
k
k
f
N e
e
где N
f










находим теоретические частоты:
tмин
tмакс
f
k
t
k
k f

fT
1
0 5
27 2,5 67,5 34,82
2
5 10 23 7,5 173 21,35
3
10 15 18 12,5 225 13,09
4
15 20 11 17,5 193 8,03
5
20 25 8
22,5 180 4,92
6
25 30 3
27,5 82,5 3,02
Σ
90
Вычислим и занесем в отдельный столбец таблицы значения
2
(
)
,
T
k
k
T
k
f
f
f

входящие в выражение под знаком суммы в формуле:
2 6
2 1
(
)
T
k
k
набл
T
k
k
f
f
f





.
Для наблюдаемого значения критерия Пирсона:
tмин
tмакс
f
tср
fT
2
(
)
T
k
k
T
k
f
f
f

1
0 5
27 2,5 67,5 34,82
2
5 10 23 7,5 173 21,35
3
10 15 18 12,5 225 13,09
4
15 20 11 17,5 193 8,03
5
20 25 8
22,5 180 4,92
6
25 30 3
27,5 82,5 3,02
Σ
90 6,75
В результате получаем
2 6,75
набл



47
По заданному уравнению значимости α=0,05 и числу степеней свободы:
ν = n-2, где
n - число групп в ряду (в нашем случае n=6) в таблице значений критических точек
2

распределения, находим.
2 2
( , )
(0,05, 4)
9, 49
кр
кр
  



Поскольку
2 2
набл
табл



(6,75 < 9,49) не отвергаем гипотезу о том, что время обслуживания клиентов описывается экспоненциальным законом распределения с интенсивностью
-1
мин
=0,10

Вид теоретической и экспериментальной зависимостей для рассмотренного примера показан на диаграмме рис. 7:
Рис. 7. Графики теоретической и экспериментальной зависимостей
частот продолжительности обслуживания заявки
Выводы:
1. Для эффективного решения задач на этапах сбора исходных данных для моделирования и анализа полученных результатов необходимо применять специальные методы. Одним из наиболее распространенных методов описания входных и выходных показателей является метод оценивания статистических гипотез.
2. Существуют несколько критериев, которые могут применяться для проверки гипотез. Выбор конкретного критерия зависит от условий, в которых производится оценивание гипотезы, в первую очередь, от объема выборки используемых для оценивания данных.
3. Для моделирования широкого класса систем и процессов необходимо строить математическое описание циркулирующих потоков

48 объектов различного класса (информационных, материальных). Потоки могут характеризоваться различными свойствами, которые обусловливают тот или иной вид их математического описания.
4. Важным частным случаем потоков в моделируемых системах и процессах является пуассоновский поток. Поэтому в практических задачах целесообразно подвергать проверке гипотезу о принадлежности наблюдаемого потока к пуассоновскому, применяя тот или иной критерий.
Вопросы для самопроверки:
1. В чем состоит сущность проверки статистических гипотез, и для каких задач моделирования она применяется?
2. Какие критерии проверки гипотез вы знаете?
3. От чего зависит выбор того или иного критерия проверки гипотез?
4. Что такое пуассоновский поток?
5. Как записывается и что позволяет найти формула Пуассона?
6. Как называется и что означает параметр пуассоновского закона?
7. Какому закону распределения подчиняются интервалы между поступлением отдельных заявок потока?
8. Как найти вероятность того, что в течение определенного интервала поступит не более определенного числа требований?
9. Чему равно математическое ожидание интервала времени между событиями в пуассоновском потоке?
10. Чему равно среднеквадратическое отклонение интервала времени между событиями в пуассоновском потоке?
11. Для чего нужно аппроксимировать экспериментальные данные относительно потока заявок и времени обслуживания в системе массового обслуживания теоретическими зависимостями?
12. Какие шаги нужно выполнить, чтобы построить теоретическую зависимость?
13. Зачем нужно проводить оценку статистической значимости результата?

49
Литература по теме:
1. Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем. – М.: Наука,
1968. – 356 с.
2. Емельянов А.А., Власова Е.А., Дума Р.В. Имитационное моделирование экономических процессов / Под ред. А.А. Емельянова. –
М.: Финансы и статистика, 2009. – 480 с.
3. Теория систем и системный анализ в управлении организациями: Справочник / Под ред. В.Н. Волковой и А.А.
Емельянова. – М.: Финансы и статистика, 2009. – 848 с.
Практические задания:
Задание 1.
Мимо наблюдателя движется простейший поток машин. Известно, что вероятность отсутствия машин в течение 5 минут равна 0,5.
Требуется найти вероятность того, что за 10 минут мимо наблюдателя пройдет не более двух машин.
Ответ: 0,837.
Задание 2.
В результате наблюдения за обслуживанием клиентов банка были получены следующие данные:
tмин
tмакс
f
1
0,00 2,72 28
2
2,72 5,44 17
3
5,44 8,15 5
4
8,15 10,87 6
5
10,87 13,59 6
6
13,59 16,31 2
На уровне значимости α=0,05 по критерию

2 проведите проверку гипотезы о том, что время обслуживания распределено по экспоненциальному закону с параметром равным среднему времени обслуживания.
Ответ: На заданном уровне значимости гипотеза не отвергается.

50
Тесты для самопроверки:
1. Критерий Крамера-фон Мизеса дает хорошие результаты при объемах выборок … а) меньших 10 б) больших 100 в) от 10 до 100 2. Критерий Колмогорова-Смирнова дает хорошие результаты при объемах выборок … а) меньших 10 б) больших 100 в) от 10 до 100 3. Простейшим называется поток, обладающий свойствами … а) стационарности б) ординарности в) отсутствия последействия г) кусочно-линейной формы функции распределения
4. Интенсивностью потока называется … число заявок в потоке в единицу времени. а) среднее б) максимально возможное в) минимально возможное

51

52 системы в какой-то момент в будущем. Такие системы и процессы носят название стохастических (от греческого στοχαστική – умеющий угадывать). Их анализ целесообразно проводить, рассматривая их как случайные процессы, ход и исход которых зависят от ряда случайных факторов, сопровождающих их развитие.
Для нахождения числовых значений нужных параметров применяются как аналитические, так и имитационные модели. В настоящей и следующей теме будет рассмотрен подход на основе аналитических моделей. Построение аналитической модели в случае стохастических процессов означает необходимость построения некоторой вероятностной модели явления, в которой будут учтены обусловливающие его развитие случайные факторы.
Для математического описания многих случайных процессов может быть применен аппарат, разработанный в теории вероятностей для так называемых марковских случайных процессов.
Случайный процесс, протекающий в системе S, называется
марковским (или процессом без последействия), если он обладает следующим свойством: для каждого момента времени t0 вероятность любого состояния системы в будущем (при t>t0) зависит только от ее состояния в настоящем (при t= t0) и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние (т.е., как развивался процесс в прошлом).
Другими словами, в марковском случайном процессе будущее развитие зависит только от его настоящего состояния и не зависит от
«предыстории» процесса.
Вопрос 2. Классификация марковских процессов.
Марковские случайные процессы делятся на классы. Основными классифицирующими признаками являются:

множество состояний, в которых может находиться система;

моменты времени, в которых происходит изменение состояния системы.
Случайный процесс называется процессом с дискретными
состояниями, если возможные состояния системы S
1
, S
2
, S
3
, ... можно перечислить (перенумеровать) одно за другим, а сам процесс состоит в том, что время от времени система S скачком (мгновенно) переходит из одного состояния в другое.
Кроме процессов с дискретными состояниями существуют случайные процессы с непрерывными состояниями: для этих процессов характерен постепенный, плавный переход из состояния в состояние. Например, процесс изменения напряжения в осветительной

53 сети представляет собой случайный процесс с непрерывными состояниями.
Если переходы системы из состояния в состояние возможны только в определенные моменты времени t
1
, t
2
, t
3
, … , то марковский процесс относится к процессам с дискретным временем. В противном случае имеет место процесс с непрерывным временем.
Вопрос 3. Граф состояний и переходов.
Анализ случайных процессов с дискретными состояниями обычно проводится с помощью графа состояний и переходов (ГСП).
Пусть имеется система S с n дискретными состояниями:
S
1
, S
2
, S
3
, … , S
n
Каждое состояние изображается окружностью или прямоугольником (вершина), а возможные переходы из состояния в состояние («перескоки») — стрелками (дугами), соединяющими эти вершины (рис. 8а).
Рис. 8. Пример неразмеченного (а) и размеченного (б) ГСП
Заметим, что стрелками можно отмечать только непосредственные переходы из состояния в состояние; если система может перейти из состояния S
1
в S
5
только через S
2
, то стрелками отмечаются только переходы S
1
—S
2
и S
2
—S
5
, но не S
1
—S
5
Удобно также пользоваться размеченным графом, который графически изображает не только возможные состояния системы и возможные переходы из состояния в состояние, но также и значения вероятностей перехода (рис. 8 б), о которых речь будет идти ниже.

54
Вопрос 4. Марковский процесс с дискретными состояниями и
дискретным временем.
Пусть система S может находиться в состояниях:
S1, S2, S3, … , Sn
и изменения состояния системы возможны только в моменты:
t1, t2, t3, … , tn
Будем называть эти моменты шагами, или этапами процесса и рассматривать протекающий в системе S случайный процесс как функцию целочисленного аргумента m = 1, 2, ... k, ... , обозначающего номер шага.
Указанный случайный процесс состоит в том, что в последовательные моменты времени t
1
, t
2
, ... , t
k
, ... система S оказывается в тех или иных состояниях. Процесс, происходящий в системе, можно представить как последовательность (цепочку) событий, например:
(0)
(1)
( )
( )
1 2
,
, ... ,
, ... ,
i
n
i
n
S
S
S
S
называемую марковской цепью, где для каждого шага вероятность перехода из любого состояния S
i
в любое S
j
не зависит от того, когда и как система пришла в состояние S
i
Марковскую цепь можно описать с помощью вероятностей состояний, в которых находится система на каком-то шаге. Пусть в любой момент времени (после любого шага) система может пребывать в одном из состояний:
S
1
, S
2
, S
3
, … , S
n
т.е., в результате шага k осуществится одно из полной группы несовместных событий:
( )
( )
( )
( )
1 2
,
, ... ,
, ... ,
k
k
k
k
i
n
S
S
S
S
Обозначив вероятности этих событий для k -го шага через
( )
( )
( )
( )
1 1
2 2
( )
(
),
( )
(
), ... ,
( )
(
), ... ,
( )
(
)
k
k
k
k
i
i
i
n
p k
p S
p k
p S
p k
p S
p k
p S




легко видеть, что для каждого шага k