199
Хорошо составленный план эксперимента обеспечивает:
минимизацию общего число опытов;
одновременное варьирование всеми входными переменными;
использование математического аппарата, формализующего многие действия экспериментатора;
наличие четкой стратегии, позволяющей принимать обоснованные решения после каждой серии экспериментов.
Объект исследования в теории планирования эксперимента обычно представляется в виде «черного ящика» (рис. 55):
Рис. 55. Модель «черного ящика»
Входы «черного ящика» (стрелки слева), обозначенные Х1, Х2,…
Хn и представляющие собой воздействия на «черный ящик», называются
факторами. Кроме того, на объект воздействуют возмущающие факторы, которые являются случайными и не поддаются управлению.
Факторы, выбранные для эксперимента, должны отвечать
требованиям:
однозначности;
независимости: факторы не должны оказывать влияния друг на друга;
совместимости: все комбинации факторов должны быть реализуемы и не приводить к абсурду;
управляемости: значение фактора можно задавать по усмотрению экспериментатора (предполагается активный эксперимент);
полноты: если какой-либо существенный фактор пропущен, это приведѐт к неправильному определению оптимальных условий и появлению большой ошибки опыта.
Факторы в эксперименте бывают количественными и качественными.
Количественные факторы представляются в виде значения шкалы действительных чисел. Например, число обслуживающих приборов в системе массового обслуживания.
Качественным факторам, значения которых не могут быть представлены числом, можно поставить в соответствие числовые обозначения, перейдя тем самым к количественным. Например,
200 дисциплину обслуживания в обслуживающем приборе можно кодировать числами натурального ряда: «Первый пришел – первый обслужен»(FIFO) - 1, «Последний пришел – первый обслужен» (LIFO) -
2 и т.д.
Для каждого из факторов указывают граничные значения. imin i
imax
,
1,...
Х
Х
Х
i
n
Диапазоны изменения факторов задают область определения Y.
Если принять, что каждому фактору соответствует координатная ось, то полученное пространство называется факторным пространством. При
n=2 область определения Y представляет собой прямоугольник, при n=3
– куб, при n >3 - гиперкуб.
Факторы могут иметь разные размерности (Мбайт, ГГц, операций/с) и различные диапазоны изменения. В теории планирования эксперимента используют кодирование факторов. Переход к кодированным (безразмерным) значениям задается преобразованием
,
i
icp
i
i
X
X
x
X
где
Хi – натуральное (абсолютное) значение фактора;
Хiср – именованное (абсолютное) значение фактора, соответствующее нулю в безразмерной шкале;
Хi – интервал варьирования фактора;
xi – кодированное значение фактора;
Если фактор является качественным, то каждому уровню этого кодированного фактора присваиваются числа в диапазоне от +1 до –1.
Так при двух уровнях это +1 и –1, при трех уровнях +1, 0, -1 и т.д.
Совокупность основных уровней всех факторов представляет собой точку в пространстве параметров, называемую центральной
точкой плана или центром эксперимента (Рис.).
201
Рис. 53. Пространство параметров
С геометрической точки зрения нормализация факторов равноценна линейному преобразованию пространства факторов, при котором проводятся две операции:
1) перенос начала координат в точку, соответствующую значениям основных уровней факторов в точку с координатами Х1сp,
Х2сp … , Хnсp;
2) сжатие–растяжение пространства в направлении координатных осей таким образом, что минимальное значение кодированных факторов соответствует «
1», а максимальное значение «+1».
Выходы «черного ящика называются откликом, а функция
Y=F(Х1, Х2, …, Хn) – функцией отклика. Геометрическое представление функции отклика в факторном пространстве Х1, Х2, … ,
Хn называется поверхностью отклика (рис. 54):
Рис. 54. Поверхность отклика
многофакторного эксперимента
Рис. 55. Поверхность отклика
однофакторного эксперимента
Если исследуется влияние на Y лишь одного фактора Х1, то нахождение функции отклика сложностей не вызывает. Задав несколько значений фактора, в результате опытов получаем соответствующие значения Y и график Y=F(X) (рис. ):
Если факторов два, то необходимо провести опыты при разных соотношениях этих факторов. Функцию отклика в трехмерном пространстве можно графически представить в виде «контурной карты»,
202 которую можно считать видом сверху на трехмерную поверхность отклика, описывающую функцию Y (рис. 56 а), или же ее можно анализировать, проводя ряд сечений с фиксированными значениями второго (рис. 56,б) или первого факторов (рис. 56, в):
Рис. 56. Представление поверхности отклика двухфакторного
эксперимента
Если уверенности в том, что опыты хорошо воспроизводятся, нет, то опыты повторяют несколько раз и получают зависимость с учетом разброса опытных данных.
По виду полученной функции отклика можно подобрать для нее математическое выражение. Подход к решению этой задачи рассмотрен в следующем вопросе темы.
Вопрос 2. Отсеивающий эксперимент.
Когда число факторов превышает семь, особую остроту приобретает задача выявления факторов, незначительно влияющих на показатель качества системы (функцию отклика). Планирование и проведение отсеивающего эксперимента позволяет выделить из всей совокупности факторов только наиболее существенные, подлежащие дальнейшему детальному изучению.
Соответствующие планы применяют на начальных этапах исследования, когда нет конкретных сведений о влиянии тех или иных параметров. Отсеивание несущественных факторов снижает трудоемкость решения задач оптимизации или приближенного аналитического описания системы.
При проведении отсеивающих экспериментов все факторы варьируются на двух уровнях. Нижний и верхний уровень каждого фактора выбираются из технологических соображений и предшествующего опыта. Общее число опытов должно быть не меньше числа исследуемых факторов. Комбинация уровней факторов определяется матрицей планирования - таблицей, показывающей, на каком уровне устанавливается каждый конкретный фактор в каждом опыте. В этой таблице «+1» (или просто «+») означает, что фактор берется на верхнем уровне, «-1» (или «-») - на нижнем. Для
203
качественных факторов эти понятия условны, например, «дисциплина обслуживания» на нижнем уровне может быть LIFO, на верхнем – FIFO.
Важно, чтобы отличие между уровнями было как можно больше в рамках допустимых пределов работоспособности исследуемой системы.
В каждом конкретном опыте уровни факторов в отсеивающем эксперименте должны быть выбраны так, чтобы матрица планирования обладала следующими свойствами (свойства ортогональности):
сумма чисел в каждом столбце кроме первого равнялась нулю;
сумма произведений элементов, относящихся к одному опыту, для двух любых столбцов равнялась нулю.
Примером матрицы планирования может быть следующая таблица
(рис. 57):
Номер опыта
i
ФАКТОРЫ
Отклик
F
0 1
2 3
4 5
6 7
1
+
+
+
+
+
+
+
+
95 2
+
-
+
-
+
-
+
-
98 3
+
+
-
-
+
+
-
-
87 4
+
-
-
+
+
-
-
+
105 5
+
+
+
+
-
-
-
-
83 6
+
-
+
-
-
+
-
+
81 7
+
+
-
-
-
-
+
+
91 8
+
-
-
+
-
+
+
-
86
ΣFi+
356 357 369 385 349 370 372
ΣFi-
370 369 357 341 377 356 354
ΔFi
14 12 12 44 28 14 18
Ранг
4 6
6 1
2 4
3
Рис. 57. Пример матрицы планирования отсеивающего эксперимента
Измерялась пропускная способность отделения банка в числе обслуженных клиентов в течение рабочего дня в зависимости от таких факторов как:
1 - день недели,
2 – качество помещения,
3 - район города,
4 - вид банковской операции,
5 - время (период) дня,
6 - категория клиента,
7 - квалификация кассира;
204
Столбец с обозначением «0» не отвечает никакому фактору, он появился вследствие правила формирования матрицы, которое поясняется ниже.
Собственно план эксперимента содержится в ячейках таблицы, заполненных символами серого цвета. Например, в опыте 5 первые три фактора берутся на верхнем уровне, а остальные четыре - на нижнем.
Чтобы построить матрицу, обладающую свойствами ортогональности, за основу берутся так называемые матрицы Адамара.
Матрица Адамара размерности
2 2
n
n
строится из матриц размерности
n n
по правилу:
2 2
1 1
,
1 1
n
n
n
n
n
H
H
H
H
H
H
Матрица планирования в примере рис. 57 образована матрицей
8
H , отсюда столбец с номером 0. С такой матрицей можно проверить влияние не более семи факторов. Если их больше (от 8 до 15) , то следует строить матрицу
16
H . Число опытов в этом случае равно 16, если же факторов меньше 15, то просто отбрасываются последние столбцы матрицы
16
H .
После выполнения эксперимента по данному плану анализируем его результат следующим образом.
Для каждого фактора j, j=1,…7 находится сумма значений выходного параметра по всем опытам, где j-ый фактор был на верхнем уровне (+):
:
ij
j
i
i Ф
F
F
и сумму значений выходного параметра по всем опытам, где j-ый фактор был на нижнем уровне (-):
:
ij
j
i
i Ф
F
F
После чего находим разность
j
j
j
F
F
и вносим результаты в соответствующие столбцы таблицы. Теперь ранжируем факторы по убыванию
j
в предположении того, что более сильно влияющие факторы характеризуются большим значением
205 абсолютной величины разности. Ранг фактора вносится в нижнюю строку таблицы.
Это предположение, однако, нуждается в проверке, поскольку влияние может быть вызвано как случайным сочетанием уровней других факторов, так и тем, что максимальное влияние фактора проявляется не обязательно тогда, когда он находится на верхнем или нижнем уровнях, а тогда, когда он находится на каком-то промежуточном.
Вопрос 33. Аналитическое описание функции отклика.
Традиционные методики проведения экспериментов из-за зависимости компонентов восстанавливаемого аналитического описания не позволяют определить раздельное влияние каждого фактора на результирующий показатель, т. е. эти методики обеспечивают получение аналитических зависимостей, пригодных лишь для решения
интерполяционных задач. В отличие от них теория планирования эксперимента дает возможность оценить вклад каждого параметра в значение показателя, т.е. приближенно восстановить закон функционирования объекта по экспериментальным данным. Полученное аналитическое описание объекта можно использовать для предварительного исследования вариантов построения системы или в интересах построения модели старшей системы, включающей данный объект на правах элемента. Эксперименты, направленные на раскрытие механизма исследуемого явления и определяющие аналитическую зависимость, называют интерполяционными или регрессионными.
Модель объекта представляет собой аналитическую зависимость отклика от факторов. Чаще всего эта зависимость неизвестна, известными являются факторы xi и выходные величины отклика yi.
Часто встречается задача исследования одной выходной величины у как функции нескольких факторов:
y
j
= Fj (x1, x2, ... ,xn)
Вид этой зависимости определяется из физической сущности, а численные значения коэффициентов вычисляются в соответствии с результатами эксперимента. Поэтому модель называют также
эмпирической. Модель объекта может быть построена и на основе теоретически описания происходящих процессов. В этом случае модель называется теоретической.
206
Одним из основных является требование простоты модели. При планировании эксперимента предполагается, что этому требованию отвечают алгебраические полиномы вида:
Y=В0 + B1Х1 + … + BnХn + В12Х1Х2 + … Вnn-1ХnХn-1 + В11Х12 + …
+ ВnnXn2 +….
Разложение функции в степенной ряд возможно в том случае, если сама функция является непрерывной и гладкой. На практике обычно ограничиваются числом членов степенного ряда и аппроксимируют функцию полиномом некоторой степени.
Функция отклика может быть выражена через кодированные факторы Y=f(x1,…, хn) и записана в полиномиальном виде
Y=b0 + b1x1 + b2x2 … + bnxn + b12x1x2 + … bnn-1xnxn-1 + b11x12 + …
+ bnnxn2 +…
Очевидно, что Bi≠bi, но
Y=F(X1,…, Xi,…, Xn) = f(x1,…, xi,…, хn)
Для полинома, записанного в кодированных факторах, степень влияния факторов или их сочетаний на функцию отклика определяется величиной их коэффициента bi.
При определении общего числа членов степенного ряда количество парных сочетаний для n факторов в полиноме, тройных сочетаний, i-ых сочетаний при n>i находится по соотношению
(
1)(
2)...(
1)
1 2 ....
i
n
n n
n
n i
C
i
Например, для набора четырех чисел (n=4) - 1, 2, 3, 4 число тройных сочетаний составляет
3 4
4 3 2 4
1 2 3
C
(123, 134, 124, 234)
Если считать, что существует фактор х
0
всегда равный 1, то
0 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2 0
n
n
n
n
n
i i
i
b
b x
b x
b x
b x
b x
b x
b x
b x
207
Если дополнительно все двойные, тройные и т.д. сочетания факторов, а также квадраты факторов и все соответствующие им коэффициенты для i=n+1,…m, обозначить через хi и bi, то степенной ряд можно записать в виде
0
m
i i
i
Y
b x
Здесь m+1 общее число рассматриваемых членов степенного ряда.
Для линейного полинома с учетом всех возможных сочетаний факторов
1 1 1
i
n
n
n
n
m
C
C
C
Полный квадратичный полином будет иметь вид:
5 2
2 0
1 1 2 2 12 1 2 11 1 22 2 0
,
i i
i
Y
b
b x
b x
b x x
b x
b x
b x
где
х0=1, х3=х1х2, х4=х12, х5=х22, b3=b12, b4=b11, b5=b22.
При использовании методов планирования эксперимента для решения задачи построения математической модели объекта необходимо найти ответы на такие вопросы:
Какие сочетания факторов и сколько таких сочетаний необходимо взять для определения функции отклика?
Как найти коэффициенты В0, В1, … , Bm?
Как оценить точность представления функции отклика?
Как использовать полученное представление для поиска оптимальных значений Y?
Математический аппарат планирования экспериментов позволяет проводить активный эксперимент и получать только необходимую информацию отдельно о каждом факторе или сочетании факторов. В частности, коэффициенты регрессии, которые являются основными характеристиками каждого фактора, определяются независимо друг от друга. Управляемость процесса получения информации заключается в том, что в процессе исследований ставятся эксперименты не по всем возможным сочетаниям факторов, а только по сочетаниям (значениям факторов в каждом эксперименте), которые обеспечат получение нужной информации. Это позволяет:
1) резко сократить количество опытов и облегчает обработку и анализ полученных результатов;
208 2) целенаправленно проводить исследования, четко обосновывая условия и количество экспериментов.
Если высказывается гипотеза о линейной зависимости исследуемого процесса, то минимальное значение числа уровней факторов в экспериментах равно двум (-1 и +1), так как прямую линию можно построить по двум точкам. При количестве факторов равном n, количество экспериментов N будет равно 2
n
. План, построенный таким образом, получил название полного факторного эксперимента (ПФЭ).
При многофакторном эксперименте, особенно когда число факторов больше шести, число опытов планов ПФЭ становится слишком большим. Если нам не требуется определение всех коэффициентов неполного квадратичного полинома, то переходят к дробному
факторному эксперименту (ДФЭ). Они представляют собой части полного факторного эксперимента (половину, четверть и т.д.) и называются дробными репликами ПФЭ, в которых количество опытов
N уменьшается до значения 2
n k
Вопрос 4. Поиск оптимальных значений.
Часто возникающей на практике задачей является задача поиска значений параметров системы, обеспечивающих достижение
оптимального значения показателя качества исследуемого объекта при известных ограничениях на значения параметров.
Полный перебор всех допустимых сочетаний значений параметров системы с целью поиска оптимального варианта нерационален с точки зрения затрат необходимых ресурсов. Например, имея всего три фактора с пятью уровнями, потребуется провести
3 5
125
экспериментов для нахождения оптимальной комбинации значений.
Для нахождения оптимума может быть использован подход, называемый классическим, или методом Гаусса-Зейделя, который можно пояснить с помощью графического представления зависимости функции отклика одновременно от двух факторов в виде «контурной карты» (рис. 58Рис.):