Материал: Московский финансовопромышленный университет Синергия Кафедра Информационных систем и технологий

17
Вопрос 3. Требования, предъявляемые к моделям.
Чтобы соответствовать своему назначению и быть практически полезными модели должны отвечать ряду требований, вытекающих из сущности методологии и определяемых условиями конкретной задачи.
Укажем основные из них, которые носят принципиальный и универсальный характер.
Создать модель в точности отображающую все свойства моделируемого объекта невозможно. Модель всегда отображает только некоторые аспекты системы, выбираемые исследователем для включения в модель в зависимости от того, насколько эти аспекты существенны с точки зрения решения основной задачи. Выбор цели, таким образом, определяет характер всей последующей работы, связанной с построением и использованием модели, а также полезность и надежность получаемого результата. Таким образом, основным и обязательным свойством модели является ее целенаправленность.
Свойство адекватности модели определяет ее пригодность в качестве инструмента проведения исследований и является основным ее свойством. Модель считается адекватной, если она отражает заданные свойства моделируемого объекта с приемлемой точностью. Точность определяется как степень близости значений выходных параметров модели к выходным параметрам объекта. Если в процессе построения модели допущены принципиальные ошибки, то говорить о ее точности не имеет смысла.
Реальный объект (Рис. 2а).
Рис. 2. Объект-оригинал (а) и его модель (б)
может быть описан функциональной зависимостью между показателями его свойств Y и множествами учтенных
1
{ ,...,
}
n
X
x
x

и неучтенных
1
{
,...,
}
s
W
w
w

факторов и параметров
1
{ ,..., }
r
Z
z
z

(определение этих терминов будет дано в следующей теме):

18 1
1 1
( ,...,
, ,..., ,
,...,
)
n
r
s
Y
f x
x z
z w
w

.
(1)
Однако в модели (
Рис.Рис. 2б) отображаются только те факторы и параметры объекта-оригинала, которые имеют существенное значение для решения поставленной задачи. Кроме того, измерения существенных факторов и параметров практически всегда содержат ошибки, обусловленные погрешностью измерительных приборов и незнанием некоторых факторов. В силу этого модель включает в себя только приближенное
описание свойств изучаемого объекта, а математическая модель представляет собой еще и абстракцию изучаемого объекта.
Модели обычно отличаются от своих оригиналов природой внутренних параметров. Подобие заключается в адекватности реакции
Y’ модели реакции Y оригинала на изменение внешних факторов
1
, ... ,
n
x
x . Поэтому в общем случае математическая модель представляет собой функцию:
'
'
'
1 1
( , ... ,
,
, ... ,
) ,
n
m
Y
f x
x
p
p

(2) где
1
, ... ,
m
p
p внутренние параметры модели, адекватные параметрам оригинала.
Главным вопросом математического моделирования является вопрос о том, насколько точно составленная математическая модель отражает отношения между учитываемыми факторами, параметрами и выходом (показателем оцениваемого свойства) Y реального объекта, т.е., в какой степени уравнение '
'
'
1 1
( , ... ,
,
, ... ,
) ,
n
m
Y
f x
x
p
p

(2) соответствует уравнению
1 1
1
( ,...,
, ,..., ,
,...,
)
n
r
s
Y
f x
x z
z w
w

(1).
Иногда '
'
'
1 1
( , ... ,
,
, ... ,
) ,
n
m
Y
f x
x
p
p

(2) можно получить в явном виде, например, в виде системы дифференциальных уравнений или иных математических соотношений. Однако в более сложных случаях вид уравнения '
'
'
1 1
( , ... ,
,
, ... ,
) ,
n
m
Y
f x
x
p
p

(2) неизвестен и задача исследователя состоит, прежде всего, в том, чтобы найти вид этогоуравнения. При этом к числу варьируемых параметров '
'
1
, ... ,
n
x
x , относят все учитываемые внешние факторы и параметры исследуемого объекта, а к числу искомых параметров относят внутренние параметры модели
1
, ... ,
m
p
p
, связывающие факторы '
'
1
, ... ,
n
x
x с показателем Y' наиболее правдоподобным отношением.
Решением этой проблемы занимается теория планирования
эксперимента, элементы которой рассматриваются в последней теме

19 настоящего курса. Положения этой теории применительно к указанной задаче позволяют, основываясь на выборочных измерениях значений параметров '
'
1
, ... ,
n
x
x и показателя Y', найти параметры
1
, ... ,
m
p
p , при которых функция '
'
'
1 1
( , ... ,
,
, ... ,
) ,
n
m
Y
f x
x
p
p

(2) наиболее точно отражает реальную закономерность
1 1
1
( ,...,
, ,..., ,
,...,
)
n
r
s
Y
f x
x z
z w
w

(1).
Точность модели различна в разных условиях функционирования объекта, которые характеризуются внешними параметрами. В пространстве внешних параметров необходимо выделить область
адекватности модели, где погрешность меньше заданной предельно допустимой погрешности. Определение области адекватности моделей является довольно сложной и трудоемкой задачей, решение требующей больших вычислительных и временных ресурсов, которые с увеличением размерности пространства внешних параметров растут нелинейно. Эта задача по объему может значительно превосходить задачу параметрической оптимизации самой модели, поэтому для вновь проектируемых объектов может не решаться.
Универсальность модели определяется в основном числом и составом учитываемых в модели внешних и выходных параметров.
Задачей разработчика модели является определение множества этих параметров таким образои, чтобы обеспечить получение нужных результатов в достаточно широкой области исследований.
Экономичность модели характеризуется затратами вычислительных ресурсов для ее реализации - затратами машинного времени и памяти. Для решения достаточно сложных задач это обстоятельство может иметь очень большое значение.
Противоречивость требований к модели - широкая область адекватности, высокая степень универсальности и экономичность - обусловливает необходимость создания для объектов одного и того же типа не одной модели, а некоторого их набора, в котором каждая модель предназначена для решения конкретных, в общем случае непересекающихся, задач.
Степень соответствия модели своему назначению и ее практическая полезность характеризуется также наличием у нее таких свойств как:

Наглядность, под которой понимается обозримость основных свойств и отношений.

Управляемость, предполагающая наличие в модели хотя бы одного параметра, изменениями которого можно имитировать поведение моделируемой системы в различных условиях.

Доступность и технологичность для проведения исследования или воспроизведения поведения.

20

Адаптивность, под которой понимается способность модели приспосабливаться к различным входным параметрам и воздействиям окружения.

Способность к эволюции, т.е., к количественному и качественному развитию.
Выводы:
1. Решение многих научных и практических задач сопряжено с большими трудностями в силу невозможности проведения эксперимента с реальным объектом или связанных с проведением эксперимента большими затратами. Преодолеть эти трудности можно путем моделирования изучаемого объекта.
2. Методология моделирования является универсальной как по отношению к типу изучаемых объектов и явлений, так и в смысле постановок задач исследований, которые могут выходить за границы применимости классических теорий и требовать междисциплинарного подхода.
3. Для правильного выбора подхода к решению задач моделирования, так же как и в других областях науки необходима классификация моделей по различным признакам. Одним из наиболее распространенных классов моделей являются математические модели, дающие возможность получить во многих случаях решение с приемлемой точностью при относительно небольших затратах на построение моделей и проведение с ними экспериментов.
4. Эффективность моделирования зависит от того, насколько полно построенная модель соответствует предъявляемым требованиям.
Набор этих требований зависит от специфики решаемой задачи, однако, практически во всех случаях в число этих требований входят требования адекватности, универсальности и экономичности.
Вопросы для самопроверки:
1. Что такое модель?
2. Что называется моделированием?
3. Где применяются модели?
4. В чем состоит особенность моделирования как методологии?
5. Каковы основные преимущества моделирования?
6. Как классифицируются модели?
7. В чем состоят преимущества и недостатки математических моделей по сравнению с натурными моделями?
8. Как классифицируются математические модели?
9. Чем объясняется широкое распространение математических моделей?
10. Какие бывают математические модели в зависимости от используемого математического аппарата?

21 11. В чем заключаются отличия линейных моделей от нелинейных?
12. Чем отличается статистическая модель от динамической?
13. Чем отличается детерминированная модель от стохастической?
14. Как различаются модели по критерию модельного времени?
15. Что такое адекватность?
16. Что такое область адекватности?
17. Как можно обосновать адекватность на основе формального сравнения оригинала и модели?
18. Что понимается под требованием универсальности модели?
Литература по теме:
1. Емельянов А.А., Власова Е.А., Дума Р.В., Емельянова Н.З.
Компьютерная имитация экономических процессов: Учебник / Под ред.
А.А.

Емельянова. – М.: Маркет ДС, 2010. – 464 с.
2. Теория систем и системный анализ в управлении организациями: Справочник / Под ред. В.Н. Волковой и А.А.
Емельянова. – М.: Финансы и статистика, 2009. – 848 с.
Тесты для самопроверки:
1. К преимуществам математических моделей относится … а) универсальность б) простота создания в) экономичность г) отсутствие требований к уровню знаний исследователя
2. Требованию адекватности отвечает … а) любая натурная модель б) любая математическая модель в) любая полунатурная модель г) любая модель, прошедшая проверку своей обоснованности
3. Траекторию полета ракеты в системе автоматизированного контроля целесообразно описывать с помощью: а) структурной модели б) табличной модели в) текстовой модели г) аналитической модели д) графической модели

22 4. Отнесение признака объекта к существенным определяется … а) целями моделирования б) числом выявленных признаков в) степенью сложности объекта г) размерами объекта д) типом структуры объекта

23

24 абсолютное подобие невозможно, и основная цель моделирования - модель достаточно хорошо должна отображать функционирование моделируемой системы. Одними из основных понятий, используемых в моделировании, являются понятия изоморфизма и гомоморфизма.
Изоморфизм и гомоморфизм (греч. isos — одинаковый, homoios — подобный и morphe — форма) — понятия, характеризующие соответствие между структурами объектов.
Две системы, рассматриваемые отвлеченно от природы составляющих их элементов, являются изоморфными друг другу, если каждому элементу первой системы соответствует лишь один элемент второй и каждой связи в одной системе соответствует связь в другой и обратно.
Такое взаимно-однозначное соответствие называется изоморфизм (Рис. 3).
Рис. 3. К понятию изоморфизма
Полный изоморфизм может быть лишь между абстрактными, идеализированными объектами, например, соответствие между геометрической фигурой и ее аналитическим выражением в виде формулы. Например, окружность может быть задана в виде формулы
2 2
2
x
y
r


, или в виде графика в декартовой системе координат.
Изоморфизм связан не со всеми, а лишь с некоторыми выбранными в процессе анализа свойствами объектов, которые в других своих отношениях могут отличаться.
Гомоморфизм отличается от изоморфизма тем, что соответствие объектов однозначно лишь в одну сторону. Поэтому гомоморфный образ есть неполное, приближенное отображение структуры оригинала.
Примерами гомоморфизма могут служитьотношение между картой и местностью или отношение между грамзаписью и ее оригиналом.
Математическая модель представляет собой некоторую абстракцию реального объекта и строится как описание последнего на основе использования основных категорий и понятий. Рассмотрим эти понятия.
Под предметной областью будем понимать мысленно ограниченную область реальной действительности или область идеальных представлений, подлежащую описанию (моделированию) и