Материал: Методичка

Глава 3. Методы приближения, интерполяции и аппроксимации функций

Компьютеры выполняют простейшие арифметические операции, однако при программировании решений вычислительных задач требуется рассчитывать значения таких функций как , , и т.д. Усилия многих математиков и программистов были затрачены на разработку методов и программ, позволяющих вычислять значения функций эффективно и точно. Многообразие существующих методов вычисления функций на ЭВМ можно условно разделить на три группы.

Группа методов, для которых доступна полная информация о функции (методы приближения функций). Если известен аналитический вид функции (задано ее математическое выражение), то можно реализовать полное исследование ее математических свойств. Основной задачей данной группы методов является замена (приближение) исходной сложной функции некоторой другой функцией, которую можно вычислить на ЭВМ.

Группа методов, для которых доступна информация о значениях функции на конечном множестве значений ее аргументов (методы интерполяции функций). Предполагается, что значения аргументов и самой функции заданы точно, а задачей данной группы методов является распространение (восстановление) значений функций с дискретного множества точек на непрерывную область (на основании конечного множества значений функции требуется вычислить ее значение для произвольного значения аргумента).

Группа методов, для которых доступна недостоверная информация о значениях функции на конечном множестве ее аргументов (методы аппроксимации функций). Значения функции или ее аргументов могут быть искажены разного рода неточностями (погрешностями измерений, округления и т.д.), а задачей данной группы методов является не только распространение (восстановление) функции с дискретного множества точек на непрерывную область, но и устранение (фильтрация) погрешностей в исходной информации.

3.1. Методы приближения функций

Пусть задана некоторая функция , для которой доступно полное исследование свойств (вычисление любых производных, поиск экстремумов и т.д.). Требуется разработать численный метод вычисления ее значений для произвольных значений аргумента . Как известно, в ЭВМ непосредственно вычисляются функции, использующие элементарные арифметические операции сложения, вычитания, умножения и деления. Среди элементарных функций особенностям организации вычислительного процесса на ЭВМ удовлетворяют степенные и полиномиальные функции (многочлены). Таким образом, функция, с помощью которой целесообразно приближать (заменять) исходную функцию , является полиномом : , где – его коэффициенты, а целое положительное число – степень полинома.

Правомочна ли такая постановка задачи, когда произвольную функцию можно заменить полиномиальной функцией ? Для класса функций, непрерывных на некотором отрезке , ответ на поставленный вопрос положителен. Из курса линейной алгебры известно, что последовательность многочленов образует бесконечномерный базис в пространстве функций, непрерывных на отрезке , и любую функцию данного класса можно представить как линейную комбинацию базисных функций, то есть: .

Ограничивая бесконечный степенной ряд членами, можно приближать функцию полиномом с любой наперед заданной степенью точности.

Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке , то каково бы ни было число , найдется алгебраический многочлен , такой что , .

3.1.1. Формула Тейлора, ряд Тейлора

Наиболее простым и достаточно эффективным способом приближения функций является использование формулы Тейлора для их разложения в степенной ряд. Пусть задана непрерывная функция , имеющая непрерывные производные до порядка включительно. Такую функцию можно разложить в некоторой окрестности точки по степеням по формуле Тейлора:

, (3.1)

где – остаточный член (ошибка, погрешность), связанный с заменой при вычислении бесконечного степенного ряда первыми его членами.

Ошибку ограничения можно оценить по формуле, где :

.

Формула Тейлора не только дает возможность организовать численный метод вычисления значений функции , но и позволяет оценить величину ошибки приближения, возникающей в результате ограничения количества рассматриваемых членов ряда. При ее использовании требуется определить точку , в окрестностях которой будет производиться разложение функции, при этом следует руководствоваться соображениями точности представления коэффициентов ряда (3.1) и величиной используемого интервала области определения, внутри которого будут производиться вычисления.

Рассмотрим разложение в ряд Тейлора функции . Найдем соответствующие производные и в результате получим последовательность функций: , , , , , , , , … . Если положить , то последовательность функций преобразуется в ряд чисел 1, 0, –1, 0, 1, 0, –1, 0, ..., тогда по формуле (3.1) мы имеем:

.

Оценим величину ошибки приближения при рассмотрении первых четырех членов ряда и ,

,

поскольку для любых .

Из полученной оценки погрешности видно, что ошибка приближения зависит от и если не изменить число членов ряда в представлении функции , то для достаточно больших значение погрешности может превысить 1.

3.1.2. Полиномы Чебышева

Формула Тейлора при разложении функции в степенной ряд дает сходимость, зависящую от значения . Возникает идея поиска такого многочлена , чтобы максимальная ошибка приближения функции была бы наименьшей. Данная задача была решена великим русским математиком П.Л.Чебышевым и получила название задачи о наилучшем приближении.

Пусть задана некоторая функция , которую на отрезке требуется приблизить многочленом таким образом, чтобы

,

т.е. подобрать такие коэффициенты , чтобы максимальная величина модуля разности между и была наименьшей для любых .

Определение. Полиномом Чебышева называется многочлен вида , где .

Заметим, что полиномы Чебышева не являются тригонометрическими функциями, однако доказательство данного утверждения приводить не будем. Используя известные формулы тригонометрии, найдем первые три многочлена:

,

,

.

Для вычисления многочленов Чебышева практичнее использовать следующее рекуррентное соотношение:

. (3.2)

Свойства многочленов Чебышева:

1. Учитывая формулу (3.2), можно установить, что , , то есть коэффициент при старшей степени многочлена Чебышева равен .

2. Полиномы Чебышева образуют ортогональный базис (с весом ) на множестве функций, непрерывных на отрезке , и удовлетворяют следующим равенствам:

(3.3)

3. Многочлены Чебышева доставляют минимум максимальной ошибки приближения, то есть являются многочленами наилучшего приближения для класса функции, непрерывных на отрезке . Докажем данный факт.

Чебышев показал, что точная верхняя грань (supremum, супремум) многочлена среди всех многочленов с коэффициентом 1 при старшей степени на отрезке наименьшая. Действительно, , откуда , тогда , причем экстремумы принимают попеременно положительные и отрицательные значения на отрезке [–1,1], так как – гармоническая функция. Количество экстремумов равно . Рассмотрим разность: , которая является многочленом степени (поскольку члены уничтожаются). Если экстремальное значение меньше, чем у , то в экстремальных точках полинома функция принимает по очереди положительные и отрицательные значения. Следовательно, имеет действительных корней, чего не тожет быть, так как степень многочлена равна . Тогда выполняется тождество или

.

Последнее свойство полиномов Чебышева представляет большой интерес для численного анализа. Если какая-либо ошибка приближения может быть выражена многочленом Чебышева степени , то любое другое выражение для ошибки в виде многочлена степени , имеющего тот же самый коэффициент при старшей степени , будет иметь на отрезке [–1,1] большую максимальную ошибку, чем чебышевское.

Практика использования полиномов Чебышева для решения задачи приближения функции заключается в следующем. Поскольку система функций образует базис, то на отрезке [–1,1] любую функцию можно представить как линейную комбинацию , :