Материал: Методичка
Б) односторонний расходящийся процесс; в) двухсторонний сходящийся процесс; г) двухсторонний расходящийся процесс.
Математически
условие сходимости можно установить
следующим образом. Представим приближения
и
в форме
и
,
где
и
– отклонения приближений от корня.
Функцию
вблизи точки
приближенно заменим первыми двумя
членами ряда Тейлора, тогда итерационная
формула (2.11) примет вид
,
но поскольку является корнем уравнения, то первые слагаемые в правой и левой частях этого выражения тождественно равны и, следовательно,
.
Для сходимости
итерационного процесса необходимо,
чтобы погрешность на каждом шаге убывала
(
),
откуда следует, что в окрестности корня
должно выполняться условие
(то есть
). (2.12)
Таким образом, для
того чтобы итерационный процесс (2.11)
был сходящимся, необходимо, чтобы
абсолютная величина производной
в окрестности корня была меньше единицы.
Если это условие выполняется на отрезке
локализации корня, то в качестве
начального приближения можно взять
любую точку, принадлежащую данному
отрезку (
).
Переход от уравнения
(2.1) к уравнению в итерационной форме
(2.10) можно осуществить различными
способами в зависимости от вида функции
.
Необходимо построить функцию
так, чтобы выполнялось условие сходимости
(2.12). Рассмотрим один из общих алгоритмов
перехода от уравнения (2.1) к уравнению
(2.10). Умножим левую и правую части
уравнения (2.1) на произвольную константу
и добавим к обеим частям неизвестное
.
При этом корни исходного уравнения не
изменятся
или
.
(2.13)
Уравнение (2.13)
эквивалентно уравнению (2.10), если
положить, что
.
Произвольный выбор константы
позволяет обеспечить выполнение условия
сходимости (2.12). Поскольку в данном
случае
,
значение
следует выбирать так, чтобы выполнялось
условие
.
Желательно выбрать
величину
такой, чтобы
,
тогда сходимость будет двухсторонней
(рис. 2.12.в). В этом случае в качестве
критерия окончания итерационного
процесса можно использовать соотношение
(2.6).
Замечание.
При сходимости последовательных
приближений к корню с разных сторон,
что имеет место при
в окрестности корня (рис.2.12.в), величина
превосходит истинную погрешность, то
есть
и критерий окончания итерационного
процесса (2.6) является объективным. Если
же
,
то сходимость к корню носит односторонний
характер (рис. 2.11.а), и условие
может выполниться гораздо раньше
требования
.
В этом случае контроль достигнутой
точности лучше осуществлять проверкой
неравенства
,
где
.
Наибольшая скорость
сходимости в методе итераций будет
наблюдаться при
.
Этого можно добиться, выбрав параметр
зависящим
от
в виде
.
При этом итерационная формула (2.11) переходит в формулу Ньютона
.
Таким образом, метод Ньютона можно трактовать как частный случай метода итераций, обладающий максимальной скоростью сходимости.
2.2.7. Комбинированный метод хорд и касательных
Рассмотренные в данной главе методы хорд и касательных могут быть объединены в комбинированный метод, так как их совместное применение на каждой итерации позволит значительно быстрее сокращать длину отрезка локализации корня. Вместе с тем вычислительная сложность полученного комбинированного метода будет сопоставима с суммарной вычислительной сложностью методов хорд и касательных.
Пусть рассматривается
отрезок локализации корня
.
Комбинированный метод может быть
применен, если выполняются следующие
условия:
и
и
сохраняют знак на отрезке
.
При выполнении указанных условий
приближения к корню уравнения
по методу хорд и по методу касательных
подходят к значению
данного корня с противоположных сторон.
Поэтому для быстроты нахождения корня
удобно применять оба метода одновременно.
Так как один метод даёт значение корня
с недостатком, а другой – с избытком,
то достаточно легко добиться заданной
точности. Схема решения нелинейного
уравнения комбинированным методом
включает следующие этапы:
Вычисление значений функции
и
.Проверка выполнения условия . Если условие не выполняется, то отрезок выбран неправильно.
Нахождение производных и .
Проверка постоянства знаков производных на отрезке . Если нет постоянства знака, то отрезок выбран неверно.
Для метода касательных за выбирается тот из концов отрезка , где выполняется условие
,
то есть
и
имеют один знак. Другой конец отрезка
выбирается для метода хорд, обозначим
его через
.Расчет приближения корней по каждому из методов:
а) по методу
касательных:
;
б) по методу хорд:
.
Вычисление первого приближения корня:
.Проверка выполнения условий:
– для метода касательных;
– для метода хорд;
– для комбинированного метода. Здесь
– заданная точность вычисления корня.
Если какое-либо условие не выполняется,
то применение метода продолжается с
пятого шага для тех методов, условия
прекращения выполнения которых не
выполнены.
После первой
итерации отрезок локализации корня
сужается и принимает вид
.
На второй итерации приближенные значения
корня для методов касательных и хорд
(в соответствии с пунктами 5 и 6)
рассчитываются соответственно по
формулам:
и
.
В общем случае
вычисления продолжаются, пока не будет
найдено такое приближение корня
,
при котором
и
совпадут с точностью
.
2.3. Вопросы для самопроверки
Дайте определение алгебраических и трансцендентных уравнений, приведите примеры.
Дайте определение прямых и итерационных методов решения нелинейных уравнений, охарактеризуйте их отличия.
Из каких этапов состоит процесс численного решения нелинейных уравнений и каково их содержание?
Объясните принцип локализации корней нелинейного уравнения на области определения соответствующей функции, приведите примеры.
Объясните принцип локализации корней нелинейного уравнения в результате построения эквивалентного уравнения , приведите графические примеры.
Объясните табличный подход к локализации корней нелинейного уравнения, приведите графические примеры.
Приведите и сравните различные способы локализации корней нелинейного уравнения.
Перечислите основные этапы алгоритма аналитической локализации корней нелинейного уравнения и раскройте их сущность.
Объясните основную идею численных методов определения приближенных значений корней нелинейных уравнений.
Дайте определение сходимости итерационного процесса, приведите примеры различных видов сходимости.
Раскройте сущность метода половинного деления.
Объясните условия прекращения итерационного процесса метода половинного деления.
Охарактеризуйте сходимость и эффективность метода половинного деления.
Приведите формулы расчета количества итераций, необходимого для достижения заданной точности в методе половинного деления.
Раскройте сущность полосы шумов, а также связанного с ней условия прекращения итерационного процесса метода половинного деления.
Докажите оптимальность половинного деления отрезка локализации.
Раскройте сущность метода хорд, приведите пример.
В чем заключается отличие метода хорд от метода половинного деления и что в них общего?
Раскройте сущность и условия применимости метода Ньютона.
Каковы условия прекращения итерационного процесса метода Ньютона?
Охарактеризуйте сходимость и эффективность метода Ньютона и зависимость его сходимости от выбора начального приближения корня.
Объясните принцип выбора начального приближения в методе Ньютона.
Раскройте сущность модифицированного метода Ньютона.
Раскройте сущность метода секущих, приведите пример.
Объясните принцип выбора двух начальных приближений в методе секущих и его отличия от методов Ньютона и хорд.
Раскройте сущность метода итераций.
Каковы условия сходимости итерационной последовательности в методе итераций?
Приведите графические примеры и условия одностороннего сходящегося и расходящегося процесса метода итераций.
Приведите графические примеры и условия двухстороннего сходящегося и расходящегося процесса метода итераций.
Объясните принцип приведения нелинейного уравнения к итерационной форме в методе итераций.
Каковы условия односторонней и двусторонней сходимости в методе итераций, приведите примеры?
Каким образом можно достичь максимальной скорости сходимости итерационного процесса в методе итераций и почему?
Раскройте сущность комбинированного метода хорд и касательных.
Опишите схему решения нелинейного уравнения комбинированным методом хорд и касательных.
Перечислите требования, предъявляемые к свойствам функций в методах половинного деления, хорд, Ньютона, секущих и итераций.
Формулы расчета приближений корня на итерации имеют вид
и
.