Материал: Методичка

. (3.4)

Коэффициенты разложения можно определить, используя свойство ортогональности (3.3) полиномов Чебышева. Для определения почленно умножим левую и правую часть выражения (3.4) на и проинтегрируем:

.

Учитывая ортогональность, имеем:

или .

Аналогично можно вычислить остальные коэффициенты разложения (3.4):

, . (3.5)

Единственной проблемой разложения функции по полиномам Чебышева является вычисление достаточно сложных интегралов вида (3.5).

3.1.3. Экономизация степенных рядов

Полиномы Чебышева дают очень хорошее приближение функции, но эти приближения довольно сложно вычислять. Существует относительно простой метод корректировки традиционного разложения функции в степенной ряд (например, в ряд Тейлора) до разложения функции по полиномам Чебышева.

Пусть дана часть степенного ряда функции на отрезке [–1,1]:

. (3.6)

Используя представление полиномов Чебышева степеней 0, 1, 2, ..., можно вычислять функции в разложении по полиномам Чебышева:

(3.7)

Подстановка (3.7) в (3.6) преобразует разложение функции в степенной ряд (3.6) в ряд, разложенный по полиномам Чебышева:

. (3.8)

Для широкого класса функций их разложение по полиномам Чебышева сходится намного быстрее, следовательно, мы можем надеяться, что , , в формуле (3.8) убывают гораздо быстрее, чем , , в (3.6). Тогда, не уменьшая общую точность приближения функции (за счет улучшения структуры ее представления), можно понизить степень многочлена, удалив из (3.8) последний член разложения, если , где – некоторая заданная точность. В результате, с помощью многочлена меньшей степени доступно вычисление функции без ущерба для точности ее представления в ЭВМ.

3.1.4. Приближения с помощью дробно-рациональных функций

Некоторые функции нельзя достаточно точно приблизить многочленами, например, имеющие асимптоты. Асимптотой графика функции называется такая прямая, расстояние от точки до которой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Рациональные функции способствуют получению хороших приближений. Наиболее сложную проблему составляет вопрос выбора вида дробно-рациональной функции для заданной функции , где и – многочлены. При выборе вида рациональной функции следует учитывать всю имеющуюся априорную информацию: симметрию приближаемой функции, точки разрыва, нули функции и т.д. Проиллюстрируем идею метода на примере. Пусть рациональная функция является отношением двух полиномов третьего порядка:

. (3.9)

Для функции по формуле Тейлора получено разложение в ряд:

. (3.10)

Приравнивая (3.9) и (3.10), а также приводя полученное равенство к общему знаменателю, получим

.

Раскрывая скобки и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем систему уравнений, из которой определим коэффициенты

Последние три уравнения отражают тот факт, что в числителе рационального приближения коэффициенты многочлена при степенях выше третьей равны нулю. При использовании данного метода возникает ошибка , которую можно оценить следующим образом. Вычислим каким был бы коэффициент , если бы он был включен в это приближение, и разделим его на величину знаменателя:

.

Для повышения точности приближения функции рациональной функцией степенной ряд (3.10) целесообразно подвергнуть экономизации.

3.2. Методы интерполяции функций

Довольно часто информация о функции задана не аналитически, а в виде значений в конечном множестве ее узловых точек (дискретно). Для реализации вычислительных алгоритмов обычно требуется восстановить функцию с дискретного множества точек (заданную таблично) на непрерывную область ее определения. Приближенная замена функции , заданной на множестве отдельных точек , (пусть ), функцией , значения которой в точках совпадают с соответствующими значениями функции , называется интерполяцией функции функцией . Точки называют узлами интерполяции, а – интерполянтом или интерполирующей функцией. При этом предполагается, что значения функции в узлах известны точно. Множество узлов интерполяции называют интерполяционной сеткой.

3.2.1. Прямой метод

Пусть на интерполяционной сетке заданы значения некоторой функции: . Требуется построить полином степени не выше , такой чтобы выполнялись условия, позволяющие однозначно определить значения его коэффициентов:

(3.11)

Геометрически процесс замены таблично заданной функции интерполянтом заключается в проведении графика функции через все узловые точки функции (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Интерполирование функции .

На рис. 3.1 помимо графика интерполянта представлен график функции , также проведенный через все узловые точки , , функции , но, очевидно, являющийся неудачным результатом ее интерполяции.

Если не указан класс функции (не описаны ее свойства), то задача интерполирования не является корректной, так как отсутствие информации о характере поведения функции между узлами может привести к непредсказуемым погрешностям при построении интерполянта . На ЭВМ в качестве интерполянтов обычно используются полиномы степени не выше . В этом случае система уравнений (3.11) превращается в систему уравнений для неизвестных коэффициентов :

(3.12)

Система (3.12) состоит из уравнения и неизвестного и имеет единственное решение, которым являются значения коэффициентов интерполянта .

Единственность решения доказывается тем, что определитель данной системы, так называемый определитель Вандермонда, отличен от нуля

.

Единственность решения означает, что разные способы вычисления коэффициентов интерполянта дают в результате один и тоже полином.

Рассмотрим пример. Пусть рассматриваются три узла интерполяционной сетки, в которых известны значения некоторой функции: , , . Требуется интерполировать функцию полиномом второй степени , определив его коэффициенты .

Решение. На основании исходных данных известно, что , , а , составим систему уравнений (3.12) для определения значений коэффициентов прямым методом:

В результате получаем ответ: .

3.2.2. Полином Лагранжа

Для построения интерполяционного многочлена прямым методом необходимо предварительно решить систему уравнений (3.12). Интерполяционная формула Лагранжа не требует решения системы (3.12) и в общем виде соответствующий полином можно представить следующей формулой:

, (3.13)

где – узлы интерполяционной сетки, а – значения функции в соответствующих узловых точках.

Заметим, что многочлен удовлетворяет следующему требованию:

Многочлен равен нулю в точках , а в точке равен единице. Это обеспечивает требование прохождения интерполяционного многочлена через все узлы интерполяционной сетки.

Каждое из слагаемых формулы (3.13) является полиномом степени не выше , следовательно, также есть полином степени не выше . Формула (3.13) составлена так, чтобы выполнялось условие . Если функция достаточно гладкая, то есть имеет непрерывные производные вплоть до порядка включительно, то погрешность интерполяции, определяемую формулой , можно оценить следующим образом: