Материал: Методичка

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИБОРОСТРОЕНИЯ И ИНФОРМАТИКИ

А.С. Зуев, А.П. Иванова

Численные методы

Учебно-методическое пособие

по дисциплине «Численные методы»

для специальности 08.08.01 «Прикладная информатика в экономике»

Москва 2009

УДК 519.6

Рецензент:

к.ф.–м.н., доцент кафедры «Вычислительная математика»

Московского государственного университета

путей сообщения (МИИТ)

Логинова Н.Б.

Зуев А.С., Иванова А.П. Численные методы / под ред. д.т.н., проф. Сигала И.Х. – М.: МГУПИ, 2009. – 162 с.

АННОТАЦИЯ

В данном учебно-методическом пособии представлен теоретический материал и приведены примеры решения задач по дисциплине «Численные методы» для студентов экономических специальностей, в частности, специальности 08.08.01 «Прикладная информатика в экономике».

В пособии представлены основные численные методы, наиболее часто применяемые при решении различных экономических и технических задач математического анализа, дифференциального и интегрального исчисления, предусмотренные Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования и программой курса для экономических специальностей.

Данное пособие должно предоставить читателю основные понятия о численном решении различных задач вычислительной математики и не претендует на полноту изложения всего арсенала существующих численных методов. В пособии отсутствуют многие формальные доказательства, например, сходимости вычислительных процессов, а также многие обоснования и выводы формул, которые можно найти в рекомендуемой литературе, список которой приведен в конце пособия. Краткость изложения рассматриваемых методов достигнута, как представляется авторам, не в ущерб его строгости и точности с математической точки зрения.

Данное учебно-методическое пособие выпускается малым тиражом с целью апробации доступности изложения и возможности использования представленного в нем материала для подготовки студентов как очной и заочной, так и дистанционной форм обучения.

Содержание

Предисловие 5

Глава 1. Численные методы и особенности использования эвм

в решении математических задач 6

1.1. Математическое моделирование и численные методы 6

1.2. Общая постановка и понятие устойчивости задач вычисления 12

1.3. Структура погрешности решения задач вычисления 13

1.4. Абсолютная и относительная погрешности 16

1.5. Погрешность машинных вычислений и представлений чисел в

памяти ЭВМ 18

1.6. Графы вычислительных процессов 20

1.7. Вопросы для самопроверки 22

Глава 2. Решение нелинейных уравнений с одной переменной 23

2.1. Локализация корней 25

2.2. Уточнение корней 28

2.2.1. Метод половинного деления (бисекции, дихотомии) 29

2.2.2. Метод хорд 33

2.2.3. Метод Ньютона (касательных) 34

2.2.4. Модифицированный метод Ньютона 38

2.2.5. Метод секущих 39

2.2.6. Метод итераций 40

2.2.7. Комбинированный метод хорд и касательных 44

2.3. Вопросы для самопроверки 46

Глава 3. Методы приближения, интерполяции и аппроксимации функций 47

3.1. Методы приближения функций 48

3.1.1. Формула Тейлора, ряд Тейлора 49

3.1.2. Полиномы Чебышева 50

3.1.3. Экономизация степенных рядов 53

3.1.4. Приближения с помощью дробно-рациональных функций 54

3.2. Методы интерполяции функций 55

3.2.1. Прямой метод 55

3.2.2. Полином Лагранжа 57

3.2.3. Полином Ньютона 59

3.3. Методы аппроксимации функций 63

3.3.1. Среднеквадратичная аппроксимация 63

3.3.2. Полиномиальная аппроксимация 73

3.4. Вопросы для самопроверки 74

Глава 4. Численное интегрирование 75

4.1. Понятие определенного интеграла 75

4.2. Классификация методов численного интегрирования 77

4.3. Методы Ньютона-Котеса 81

4.3.1. Методы прямоугольников 81

4.3.2. Метод трапеций 84

4.3.3. Метод Симпсона (метод парабол) 85

4.4. Погрешность методов Ньютона-Котеса 88

4.5. Вычисление интегралов с заданной точностью 91

4.6. Особые случаи численного интегрирования 92

4.7. Вычисление кратных интегралов 94

4.8. Методы Монте-Карло 101

4.9 Вопросы для самопроверки 105

Глава 5. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений 108

5.1. Общие вопросы теории дифференциальных уравнений 110

5.2. Аналитические методы. Интегрирование с помощью рядов 115

5.3. Численные методы. Метод Эйлера 128

5.4. О точности методов численного интегрирования дифференциальных уравнений 134

5.5. Дифференциальные уравнения в экономической динамике 135

5.6. Вопросы для самопроверки 138

Глава 6. Численное дифференцирование 139

6.1. Дифференцирование функций, заданных аналитически 141

6.2. Дифференцирование функций, заданных таблично 146

6.3. Вычисление частных производных 147

6.4. Приложение производной в экономической теории 148

6.5. Вопросы для самопроверки 149

Глава 7. Методы численной оптимизации 150

7.1. Метод золотого сечения 152

7.2. Метод деформируемого многогранника 154

7.3. Градиентные методы 156

7.4. Метод Ньютона 158

7.5. Вопросы для самопроверки 160

Заключение 161

Литература 162

Предисловие

Одной из характерных особенностей научно-технического прогресса является широкое применение численных математических методов в профессиональной деятельности современных специалистов. В связи с этим одной из важных дисциплин подготовки специалистов в областях экономики становится дисциплина «Численные методы», которая развивает идеи численного решения задач, возникающих в процессе компьютерного математического моделирования явлений, относящихся к различным предметным сферам.

Современные численные методы в совокупности с автоматизацией их применения на персональных компьютерах превращаются в эффективный инструмент решения задач научного, технического и экономического характера. Целью обучения численным методам является формирование у студентов систематизированных понятий о приближенных методах решения прикладных задач, а также подготовка студентов к разработке и применению на персональных компьютерах вычислительных алгоритмов решения математических задач.

С точки зрения авторов, современный курс «Численных методов» должен сочетать в себе обязательное изучение теории данных методов и приемов их практической реализации на ЭВМ как путем написания программ, так и в результате использования современных математических пакетов и пакетов прикладных программ. Такой подход к преподаванию дисциплины позволит сформировать у студентов понимание математического содержания конкретного метода (границ его применимости, погрешности и т.д.) и умение использовать современные программные средства. В предлагаемом подходе к преподаванию курса «Численные методы» весьма важным оказывается выбор базового программного средства.

Одной из задач, преследуемых авторами при изложении материала, является укрепление и развитие у читателя алгоритмического мышления, так как результат решения любой задачи – это не только то, что было получено в качестве ответа, но и то, как данный ответ был получен, то есть сам алгоритм решения. Требуется также отметить, что современные персональные компьютеры обладают очень большими вычислительными ресурсами и излагаемый в пособии материал не акцентирован на возможностях их экономии. Однако следует понимать, что задачей дисциплины «Численные методы» является реализация вычислительных алгоритмов, эффективных в использовании вычислительных ресурсов ЭВМ.

Естественно, что читатель, изучивший настоящее учебно-методическое пособие, не может считаться специалистом по численному анализу, но он будет располагать знаниями, необходимыми для практического решения типичных задач и позволяющими самостоятельно реализовать дальнейшее более глубокое изучение данной дисциплины.

Глава 1. Численные методы и особенности использования эвм в решении математических задач

Перед тем как приступить к непосредственному изучению численных методов рассмотрим их назначение, роль в математическом моделировании, а также особенности реализации с использованием вычислительной техники.

1.1. Математическое моделирование и численные методы

Моделирование – это описание исследуемого процесса, явления или объекта с использованием некоторого языка. Математическое моделирование – это описание исследуемого процесса, явления или объекта с применением формально-логических средств математики. Рассматривая математическую формализацию некоторого явления реального мира как своего рода теоретический эксперимент, а также основываясь на общих и достаточно естественных соображениях, в процессе исследования и математического моделирования данного явления можно выделить несколько основных этапов.

Формирование математической модели явления (процесса, объекта) – модели, представляющей собой математические закономерности, с помощью которых описаны основные характеристики моделируемого явления. Математическая модель любого изучаемого явления по причине его сложности и наличия связей с другими явлениями должна охватывать не все, а лишь важнейшие для рассматриваемой исследовательской задачи стороны, параметры и характеристики явления. Если математическая модель выбрана или разработана недостаточно тщательно, то какие бы методы не применялись для дальнейших расчетов, полученные при использовании модели результаты будут ненадежными, а в отдельных случаях и неверными.

Проведение математического исследования разрабатываемой модели явления и получение решения соответствующей исследовательской задачи. На данном этапе моделирования, в зависимости от сложности рассматриваемой модели, применяют различные подходы к ее исследованию и различный смысл вкладывается в понятие решения задачи. Например, получение доказательства существования или единственности решения в определенном смысле решает исследовательскую задачу (в том числе может приводить к получению алгоритма ее решения), однако не исключает проблему изучения качественного поведения решения и оценки его количественных характеристик.

Для наиболее грубых и несложных (в некотором смысле) моделей удается получить аналитическое решение задачи. Для более точных и сложных моделей аналитическое решение удается получить сравнительно редко. В такой ситуации при теоретическом анализе задачи пользуются приближенными алгоритмами, основанными на математических методах. Такие приемы позволяют представить приближенное решение в аналитической форме и с его помощью получить удовлетворительные численные результаты. Для наиболее точных и сложных моделей основными методами решения являются численные методы, требующие проведения большого объема вычислений на ЭВМ. Эти методы позволяют добиться хорошего количественного и даже качественного результата, но как правило их недостатком является получение некоторого частного решения задачи.

Анализ состоятельности предложенной модели подразумевает исследование результатов решения и сопоставление полученного решения с имеющимися данными физического эксперимента. На данном этапе оценивается состоятельность математической модели и проведенного исследования (по степени их соответствия параметрам изучаемого явления). «Хорошее» согласование с результатами экспериментов обычно свидетельствует о правильности выбора или тщательности разработки модели. В противном случае необходимы дополнительные уточнения, изменения, доработки модели, повторение предыдущих этапов исследования и т.д.

На рис. 1.1 приведена схема, отражающая взаимосвязь этапов исследования и математического моделирования с различными математическими методами.

Рис. 1.1. Взаимосвязь этапов математического моделирования явления.

Как видно из представленной на рис. 1.1 схемы, каждый этап исследования и математического моделирования явления в конечном итоге может быть связан с использованием численных методов и получением численного решения задачи.

Представленный выше материал позволяет акцентировать внимание на двух аспектах дисциплины «Численные методы»: математическое моделирование и необходимость использования в процессе исследования ЭВМ. В то же время одной из характерных особенностей современного математического моделирования является широкое применение ЭВМ для решения научных, технических и экономических задач. В результате, численные методы имеют непосредственную связь с математическим моделированием явлений реального мира и решением с помощью ЭВМ различных исследовательских задач данных явлений. При этом следует отметить, что ЭВМ не «решает задачу» (в том смысле, который обычно вкладывается в данное понятие), а лишь выполняет программы, реализующие вычислительные алгоритмы, основу многих из которых часто составляют именно численные методы.

Численные методы – это методы приближенного или точного решения задач теоретической или прикладной математики, основанные на построении конечной последовательности действий над конечным множеством чисел.

Численные методы являются предметом изучения вычислительной математики, которая зародилась еще в глубокой древности. Современная вычислительная математика состоит из многих разделов, важнейшими из которых являются: вычисление значений функций, вычислительные методы линейной алгебры, численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений, численное дифференцирование и интегрирование, численное решение дифференциальных и интегральных уравнений, численные методы поиска экстремумов функций и т.д.

До появления ЭВМ основные усилия ученых были направлены на поиск решений в явном виде. Однако, в математике часто встречаются задачи, решение которых не удается получить в виде формулы, связывающей искомые величины с заданными значениями переменных. Для их решения стремятся найти некоторый бесконечный процесс, сходящийся к искомому ответу. Если такой процесс задан или выявлен, то, выполняя некоторое количество шагов, а затем прекращая вычисления, получают приближенное решение задачи. Соответствующая процедура связана с проведением вычислений по определенной системе правил, которая называется алгоритмом.

Такой подход к решению задач был известен еще до появления ЭВМ, но применялся весьма редко из-за исключительной трудоемкости. Применение численных методов на базе ЭВМ существенно расширило класс задач, допускающих исчерпывающий анализ. Теперь исследователю при построении математической модели не нужно стремиться к сильным упрощениям, которые были необходимы раньше для получения ответа в явном виде. Его внимание, прежде всего, должно быть направлено на то, чтобы правильно учесть все наиболее существенные особенности изучаемого объекта. Далее исследователь выполняет разработку алгоритма или принимает решение о целесообразности использования готового алгоритма решения соответствующей задачи, а затем осуществляет реализацию алгоритма на ЭВМ.

Для иллюстрации алгоритмического подхода к решению математических задач рассмотрим простой пример, связанный с задачей вычисления числа . Как известно, вычисление числа сводится к расчету периметров правильных многоугольников, вписанных в окружность с диаметром и описанных вокруг нее. Пусть – периметр вписанного, а – описанного правильного -угольника. Так, например, для правильных шестиугольников , следовательно, .