Материал: Методичка

.

Из полученного выражения видно, что основной член погрешности на каждом частичном отрезке имеет второй порядок. Поскольку полное число отрезков интегрирования равно , то полная погрешность метода левых прямоугольников может быть рассчитана следующим образом:

.

Результат оценки погрешности формулы правых прямоугольников будет таким же. Погрешность формулы трапеций оценивается аналогичным образом. Так как значение интеграла на отрезке вычисляется по формуле , то погрешность может быть рассчитана по формуле

.

Следовательно, полная погрешность формулы трапеций на отрезке может быть рассчитана следующим образом:

Далее приведены окончательные результаты оценки погрешностей:

1. Методы левых и правых прямоугольников

.

2. Метод средних прямоугольников

.

3. Метод трапеций

.

4. Метод Симпсона

.

Методы левых и правых прямоугольников являются методами первого порядка точности. Методы средних прямоугольников и трапеций имеют второй порядок точности, при этом метод трапеций обладает вдвое большей по абсолютной величине погрешностью. Поэтому, если подынтегральная функция задана аналитически, то предпочтительнее из методов второго порядка применять метод средних прямоугольников вследствие его меньшей погрешности. Метод Симпсона имеет четвертый порядок точности с очень малым числовым коэффициентом. Формула Симпсона позволяет получить очень высокую точность, если четвертая производная подынтегральной функции не слишком велика. В противном случае, методы второго порядка точности могут дать большую точность, чем метод Симпсона.

4.5. Вычисление интегралов с заданной точностью

Используя приведенные в разд. 4.4 оценки погрешности вычисления интегралов, можно априори определить шаг интегрирования , при котором погрешность вычисленного результата гарантированно не превысит некоторую заданную погрешность . Однако на практике пользоваться априорными оценками погрешности не всегда удобно, в таких случаях контроль за точностью получаемого результата можно организовать следующим образом. Пусть вычисления проводились с постоянным шагом и – вычисленное с шагом приближенное значение интеграла . Если затем вычислить приближенное значение с шагом , то в качестве оценки погрешности последнего вычисленного значения можно рассматривать величину .

При необходимости вычислить результат с заданной точностью вычисления повторяют с последовательно уменьшающимся (обычно вдвое) шагом до тех пор, пока не выполнится условие .

Можно применить указанное правило для контроля за погрешностью на каждом частичном отрезке , . При этом длина очередного шага , посредством последовательного уменьшения начальной длины вдвое, устанавливается такой, чтобы выполнялось неравенство

.

Тогда, в худшем случае, ошибка вычисления значения интеграла на всем отрезке интегрирования не будет превосходить сумму локальных погрешностей

,

то есть не будет превосходить заданного уровня погрешности.

Способ вычисления интеграла с автоматическим выбором шага имеет то преимущество, что он «приспосабливается» к особенностям подынтегральной функции: в областях резкого изменения функции шаг уменьшается, а там, где функция меняется слабо, – увеличивается. Такого рода алгоритмы называются адаптивными, то есть приспосабливающимися, их использование позволяет сократить затраты вычислительных ресурсов без потери точности вычисления.

Одним из подходов к экономии вычислительных ресурсов ЭВМ при необходимости сокращения шага интегрирования вдвое является сохранение в памяти ЭВМ результатов промежуточных вычислений для исходного шага и дополнение их результатами расчетов, связанных с введением на отрезках интегрирования дополнительных точек, располагающихся в их середине.

4.6. Особые случаи численного интегрирования

Интегрирование разрывных функций. Если подынтегральная функция в некоторых внутренних точках ( ) отрезка интегрирования имеет разрыв первого рода (скачок), то интеграл следует вычислять для каждого участка непрерывности отдельно, а результаты складывать. Например, в случае одной точки разрыва (рис. 4.9) ( ) имеем

.

Рис. 4.9. Пример функции, имеющей разрыв первого рода в точке .

Для вычисления каждого из интегралов в правой части полученного равенства можно использовать любой из рассмотренных в данной главе методов.

Несобственные интегралы. К такому типу интегралов относятся интегралы, которые имеют хотя бы один бесконечный предел интегрирования или подынтегральную функцию, имеющую разрыв второго рода – обращающуюся в бесконечность хотя бы в одной точке отрезка интегрирования. Рассмотрим интеграл с бесконечной границей интегрирования, например .

Один из универсальных способов вычисления подобных интегралов заключается в их представлении в виде суммы двух интегралов:

,

где – некоторое большое положительное число, рис. 4.10.

Рис. 4.10. Иллюстрация вычисления интеграла с бесконечной границей интегрирования.

Вычисление первого интеграла на конечном отрезке не вызывает затруднений. Выбор числа производят таким образом, чтобы в пределах допустимой погрешности вторым интегралом можно было пренебречь.

В случае, когда подынтегральная функция обращается в бесконечность в некоторой точке ( ) отрезка интегрирования , интеграл можно приближенно представить в виде суммы двух интегралов

,

где – некоторая достаточно малая положительная величина, рис. 4.11.

Рис. 4.11. Подынтегральная функция обращается в бесконечность в некоторой точке отрезка интегрирования: а) с двух сторон от нее; б) с одной стороны от нее.

На отрезках и подынтегральная функция не имеет особенностей и соответствующие интегралы могут быть вычислены с помощью любого из рассмотренных в данной главе методов.

Замечание. В некоторых случаях при вычислении несобственных интегралов подходящая замена переменной интегрирования позволяет вообще избавиться от рассмотренных выше особенностей. Так, например, при вычислении интеграла

имеется особенность в точке , где подынтегральная функция обращается в бесконечность. Заменой переменной ( ) приходим к интегралу

,

который не имеет особенностей и вычисляется с требуемой точностью с применением любого из рассмотренных в данной главе методов.

4.7. Вычисление кратных интегралов

Для вычисления кратных интегралов вида также используются численные методы. В рамках данного учебно-методического пособия ограничимся рассмотрением двойных интегралов . Будем рассматривать неотрицательную непрерывную функцию , заданную на квадрируемом (имеющем площадь, ограниченном) множестве (области интегрирования) плоскости . Определим разбиение множества как его представление в виде объединения конечного числа квадрируемых частей, . Можно считать, что разбиение области на части , , определяется выбором геометрических фигур, которыми представлены , .

В случае интегрирования функции рассматривались длины частей разбиения отрезка : , , , . В случае интегрирования функции обобщением понятия длины будет площадь части области .

В каждой части , , произвольным образом выберем точку , имеющую координаты . Обозначим , , через . Составим двумерную интегральную сумму . Очевидно, что каждое слагаемое полученной суммы соответствует объему тела с основаниями и высотой .

В разд. 4.1 было показано, что простая (одномерная) интегральная сумма в случае интегрирования функции на отрезке представляет собой площадь ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников c основаниями, соответствующими длинам частей разбиения отрезка , и с высотами, равными значениям функции в точках , выбранных на основаниях.

Аналогично, двухмерная интегральная сумма численно равна объему ступенчатого тела, составленного из вертикальных столбиков, имеющих части , , области своими основаниями, а значения функции в некоторой принадлежащей им точке равными высотам.

Очевидно, что для заданной области и непрерывной функции можно составить не одну, а бесконечное множество интегральных сумм, потому что область можно разбить на части , , различными способами, а также по-разному выбрать в них точки , . В результате численная величина интегральной суммы зависит от способа разбиения области и от выбора внутренних точек в ее частях , .