Материал: Методичка

Рис. 4.4. Пример метода левых (а) и правых (б) прямоугольников.

В случае постоянного шага интегрирования, когда , , формулы (4.3) и (4.4) приобретают вид

,

(4.5)

.

На рис. 4.5 закрашенными фигурами показаны примеры погрешности вычисления значений интеграла методами левых и правых прямоугольников.

Рис. 4.5. Пример погрешности метода левых (а) и правых (б) прямоугольников.

Наиболее широко на практике используется формула средних прямоугольников, в которой значение константы (высоты прямоугольника) выбирается равной значению подынтегральной функции в средней точке каждого частичного отрезка интегрирования , :

.

Пример геометрической интерпретации метода средних прямоугольников представлен на рис. 4.6.

Рис. 4.6. Пример метода средних прямоугольников.

В случае постоянного шага интегрирования, когда , , формула средних прямоугольников будет иметь следующий вид

,

где , .

Из трех рассмотренных выше методов в подавляющем большинстве случаев метод средних прямоугольников является наиболее точным.

Замечание. Если подынтегральная функция задана не аналитическим выражением, а таблично, то формула средних прямоугольников оказывается неприменима (без привлечения дополнительной интерполяции), так как значения функции известны лишь в узловых точках. В этом случае пользуются либо формулами левых или правых прямоугольников, либо используют другие методы.

4.3.2. Метод трапеций

На каждом частичном отрезке интегрирования , , заменим подынтегральную функцию полиномом первой степени – прямой линией, проходящей через точки и :

, .

Пояснение. В общем виде уравнение прямой линии, проходящей через две точки и , задается следующим образом:

, откуда .

Подставляя полученное выражение в формулу (4.1) и выполняя интегрирование по частичным отрезкам, приходим к формуле трапеций:

, .

На отрезках , , площадь под графиком функции заменяется площадями трапеций с основаниями, равными значениям функции на концах отрезка, и высотой, равной (рис. 4.7).

Рис. 4.7. Иллюстрация метода трапеций.

В случае постоянного шага интегрирования, когда , , формула трапеций принимает вид

. (4.6)

Для удобства вычислений формулу (4.6) записывают следующим образом:

.

Вид представленной формулы позволяет сделать вывод, что она может быть сформирована также исходя из других соображений, так как получаемый с ее применением результат является средним арифметическим результатов использования формул левых (4.3) и правых (4.4) прямоугольников. Поэтому и указанное утверждение справедливо для случаев равных и неравных шагов интегрирования.

Замечание. Несмотря на то, что в методе трапеций для аппроксимации подынтегральной функции используются полиномы первой степени, по сравнению с методами прямоугольников, которые используют полиномы нулевой степени, точность метода трапеций оказывается ниже точности метода средних прямоугольников. Более высокая точность метода средних прямоугольников объясняется «удачным» выбором узловых точек для вычисления значений подынтегральной функции.

4.3.3. Метод Симпсона (метод парабол)

Аппроксимацию функции по методу трапеций можно интерпретировать как замену исходной функции некоторой кусочно-линейной функцией. Ошибка метода в данном случае определяется «грубостью» предложенного способа аппроксимации функции. Естественно допустить, что если исходную функцию аппроксимировать на частичных отрезках не линейными функциями, а полиномами более высоких порядков, то ошибка соответствующего метода численного интегрирования должна уменьшиться. В методе Симпсона в качестве функции, с помощью которой на частичных отрезках интегрирования заменяется исходная функция , выбрана парабола.

Пояснение. Более высокая точность вычисления интегралов обеспечивается при использовании параболической аппроксимации (полиномом второй степени) по трем соседним точкам. Для нахождения коэффициентов , и полинома, проходящего через точки , , , требуется найти решение следующей системы линейных уравнений

относительно неизвестных , , .

Разделим отрезок интегрирования на четное число равных отрезков с шагами . На каждом отрезке длиной , содержащем три узла , заменим подынтегральную функцию полиномом второй степени . Пример представлен на рис. 4.8.

Рис. 4.8. Пример замены функции параболой.

Для рассматриваемого примера значения коэффициентов , и могут быть вычислены следующим образом:

откуда , , , а .

В результате рассматриваемый полином второй степени примет вид

.

Интегрируя приведенное выражение на отрезке , получим

(4.7)

Приближенное значение интеграла на исходном отрезке интегрирования получим суммированием частичных интегралов (4.7) по всем отрезкам :

(4.8)

Полученное соотношение называется формулой Симпсона или формулой парабол, в соответствии с которой искомый определенный интеграл вычисляется как суммарная площадь параболических сегментов на всех частичных отрезках интегрирования .

Если подынтегральную функцию заменять полиномом второй степени на отрезках , , с привлечением дополнительных точек , – середин данных отрезков, то число отрезков разбиения может быть любым (не обязательно четным), а формула (4.8) будет иметь вид

. (4.9)

Напомним, что , , , .

Замечание 1. Формула (4.8) может быть использована для вычисления интегралов от функций, заданных как аналитическим выражением, так и таблично, тогда как формула (4.9) применима только в тех случаях, когда подынтегральная функция задана аналитически.

Замечание 2. Рассмотренные формулы, используемые для приближенного вычисления интегралов, называются квадратурными формулами. Нетрудно заметить, что все рассмотренные выше формулы имеют следующую структуру:

,

где – значения подынтегральной функции в узловых точках , а – весовые коэффициенты.

4.4. Погрешность методов Ньютона-Котеса

Рассмотрим один из возможных способов оценки погрешности методов численного интегрирования на примере метода средних прямоугольников. Для этого запишем выражение для интеграла на отрезке , полученное методом средних прямоугольников для постоянного шага интегрирования:

,

где , а – погрешность интегрирования, откуда

. (4.10)

Для оценки погрешности интегрирования разложим подынтегральную функцию в ряд Тейлора в окрестности средней точки :

. (4.11)

В малой окрестности точки в разложении (4.11) можно ограничиться небольшим количеством членов ряда. Поэтому, подставляя в (4.10) вместо функции ее тейлоровское разложение (4.11) и интегрируя его почленно, можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью

. (*)

При интегрировании и подстановке пределов получаем, что все интегралы от членов ряда (4.11), содержащих нечетные степени при , обращаются в ноль. Подставляя полученное соотношение в формулу (4.10), получим

.

При малой величине шага интегрирования основной вклад в погрешность будет вносить первое слагаемое, называемое главным членом погрешности вычисления интеграла на отрезке , будем считать его равным . Главный член полной погрешности вычисления интеграла на отрезке определяется суммированием погрешностей на каждом отрезке :

. (4.12)

К интегралу в формуле (4.12) мы перешли, «используя» метод средних прямоугольников для функции .

Формула (4.12) представляет собой теоретическую оценку погрешности вычисления интеграла методом средних прямоугольников, данная оценка является априорной, так как не требует знания значения вычисляемого интеграла. Степень, в которую возводится шаг , называется порядком метода интегрирования. Метод средних прямоугольников имеет второй порядок точности. Аналогично можно получить априорные оценки погрешностей других рассмотренных ранее методов.

Оценим погрешность метода левых прямоугольников. Погрешность интегрирования на отрезке равняется разности между точным значением интеграла и его приближенным значением :