Материал: Методичка

4.2. Классификация методов численного интегрирования

Пусть рассматривается задача вычисления определенного интеграла вида

,

где – непрерывная и неотрицательная на отрезке функция, – верхний и нижний пределы интегрирования.

Во многих случаях, когда подынтегральная функция задана в аналитическом виде, определенный интеграл удается вычислить непосредственно с помощью формулы Ньютона-Лейбница как приращение первообразной функции на отрезке интегрирования:

,

где и – значения первообразной функции на концах отрезка интегрирования.

В реальных исследовательских задачах выразить интеграл через элементарные функции удается достаточно редко, а компактный и удобный для приведения к числу ответ получается еще реже. Поэтому на практике формулой Ньютона-Лейбница часто нельзя воспользоваться по двум основным причинам:

1. Вид функции не позволяет аналитически выразить первообразную через элементарные функции.

2. Подынтегральная функция задана таблично.

В этих случаях используют приближенные, численные методы интегрирования. Назначение большинства приближенных методов вычисления определенных интегралов состоит в замене подынтегральной функции аппроксимирующей функцией , для которой можно легко записать первообразную в элементарных функциях, то есть

,

где – погрешность вычисления интеграла.

Чаще всего функцию заменяют интерполяционным полиномом, для построения которого используются значения функции в узлах , :

,

где – остаточный член.

Подставляя полученное выражение в определенный интеграл вместо подынтегральной функции, получим общую формулу численного интегрирования

,

где – значения подынтегральной функции в узловых точках , – весовые коэффициенты, а – погрешность или остаточный член формулы.

Пояснение. Интерполяция – приближенное вычисление неизвестных значений функции по известным ее значениям в заданных точках. Наиболее простым является линейное интерполирование, при котором допускается, что приращение функции пропорционально приращению аргумента.

Рис. 4.1. Графическая иллюстрация интегральной суммы.

Определение 4.1. Пусть предел интегральной суммы при существует, конечен и не зависит от способа выбора точек , , …, , а также , , …, . Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке , обозначается , а сама функция называется интегрируемой на отрезке , то есть

.

С геометрической точки зрения значением определенного интеграла является площадь криволинейной трапеции – фигуры, ограниченной графиком функции и прямыми , и (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Геометрическая интерпритация определенного интеграла.

Рассмотрим общий подход к решению задачи вычисления определенного интеграла. Введем в рассмотрение некоторую ломаную, которая расположена достаточно близко к кривой на отрезке , рис. 4.3.

Рис. 4.3. Ломаная линия в геометрической интерпритации определенного интеграла.

Фигура под ломаной состоит из элементарных геометрических фигур (трапеций и прямоугольников), площадь которых может быть вычислена с помощью формул планиметрии. Поскольку ломаная выбрана достаточно близко к кривой , то суммарная площадь фигур под ней и значение соответствующего интеграла приближенно равны. Данное равенство оказывается тем более точным, чем ближе расположена ломаная к исходной кривой. Приведенные рассуждения носят качественный характер, для их использования на практике необходимо уточнить то, что описано нестрого: процедуру выбора ломаной и последующий переход к пределу.

В общем случае при реализации численных алгоритмов вычисления определенных интегралов от некоторой функции на отрезке полагаем, что на выбрана система точек и . Формулы такого вида называются квадратурными, коэффициенты и точки , , выбираются так, чтобы минимизировать погрешность вычисления интеграла.

С целью уменьшения погрешности, связанной с заменой подынтегральной функции, отрезок интегрирования разбивают на отрезков и на каждом из полученных (частичных) отрезков , , заменяют подынтегральную функцию аппроксимирующей функцией . Тогда приближенное значение интеграла определяется суммой частичных интегралов от функций , взятых в пределах от до для :

. (4.1)

Методы численного интегрирования можно классифицировать в зависимости от способа аппроксимации подынтегральной функции с помощью функций , . В результате данной аппроксимации вычисление определенного интеграла реализуется посредством расчета суммарной площади элементарных геометрических фигур, составляющих соответствующую криволинейную трапецию с некоторой погрешностью. Рассмотрим краткую характеристику классов наиболее распространенных численных методов интегрирования.

Методы Ньютона-Котеса основаны на полиномиальной аппроксимации подынтегральной функции. Методы данного класса отличаются друг от друга степенью используемого полинома, от которой зависит количество узлов, в которых необходимо вычислять функцию . В методах Ньютона-Котеса отрезок интегрирования разбивается, как правило, на отрезки равной длины, величина которых определяется как и называется шагом интегрирования. Алгоритмы данных методов просты и легко поддаются программной реализации.

Сплайновые методы базируются на аппроксимации подынтегральной функции сплайнами и различаются по типу выбранных сплайнов. В данном учебно-методическом пособии эти методы рассматриваться не будут.

Пояснение. Под сплайном обычно понимают функцию, совпадающую с функциями более простой природы на каждом элементе разбиения своей области определения. Классический сплайн одной переменной строится следующим образом: область определения разбивается на конечное число отрезков, на каждом из которых сплайн совпадает с некоторым алгебраическим полиномом. Максимальная степень из использованных полиномов называется степенью сплайна. Математические сплайны берут свое начало от тонких гибких стержней, которыми пользовались чертежники для проведения плав­ных кривых через заданные точки. Стержень закреплялся в точках , , и в результате подвешивания между ними грузов принимал форму кривой . Если перейти к математическому описанию сплайна, то сплайн-функцией степени с точками соединения будет функция , которая на отрезке имеет непрерывные производные до порядка включительно и на каждом из отрезков , , равна многочлену степени не выше .

Методы наивысшей алгебраической точности (например, методы Гаусса и Маркова) основаны на использовании заданного количества неравноотстоящих узлов, расположенных так, чтобы обеспечить минимальную погрешность интегрирования для наиболее сложных функций. Методы различаются способом выбора узлов и широко используются для интегрирования, в том числе они применимы и для вычисления несобственных интегралов (см. разд. 4.6). По сравнению с методами Ньютона-Котеса, методы наивысшей алгебраической точности более громоздки и требуют больших объемов оперативной памяти ЭВМ, в данном учебно-методическом пособии эти методы рассматриваться не будут.

В методах Монте-Карло узловые точки выбираются с помощью генератора случайных чисел, в результате для вычисления интеграла используется вероятностная процедура. Данные методы оказываются особенно эффективными при вычислении кратных интегралов.

Независимо от выбранного метода, в процессе численного интегрирования необходимо вычислить приближенное значение интеграла и оценить погрешность . Погрешность, возникающая при численном интегрировании (также как и при численном дифференцировании), имеет два основных источника. Первым источником погрешности является замена подынтегральной функции аппроксимирующей функцией – погрешность аппроксимации. Как будет показано далее, погрешность аппроксимации уменьшается с увеличением количества отрезков разбиения исходного отрезка интегрирования за счет более точной аппроксимации подынтегральной функции. Второй источник погрешности – неточности в вычислении подынтегральной функции в узловых точках и ошибки округления. Данная погрешность возрастает с ростом и с некоторого значения начинает преобладать над погрешностью аппроксимации. Это обстоятельство должно предостеречь от выбора чрезмерно большого числа .

4.3. Методы Ньютона-Котеса

Способ получения формул для вычисления приближенного значения интеграла в методах Ньютона-Котеса состоит в следующем. Разобьем отрезок интегрирования на частичных (как правило, равных по длине) отрезков, точки разбиения , , будем называть узлами интегрирования, а расстояния между узлами , , – шагами интегрирования. В частном случае шаг интегрирования может быть постоянным . На каждом из частичных отрезков интегрирования , , будем аппроксимировать подынтегральную функцию полиномом некоторой степени. В результате вычисление частичных интегралов на отрезках , , по формуле (4.1) не составит труда.

4.3.1. Методы прямоугольников

Рассмотрим простейшие методы из класса методов Ньютона-Котеса, в которых подынтегральную функцию на отрезках интегрирования , , заменяют полиномом нулевой степени (константой): . Подставляя в формулу (4.1) и выполняя интегрирование, получаем

. (4.2)

Таким образом, в геометрической интерпретации приближенное значение интеграла определяется суммой площадей прямоугольников, одна из сторон которых соответствует отрезкам интегрирования длиной , а другая – аппроксимирующим константам. Отсюда происходит и название методов. Далее будем использовать обозначения: , , .

Замечание. Формулу (4.2) можно также вывести, если заменить определенный интеграл интегральной суммой, непосредственно опираясь на определение понятия определенного интеграла.

Заметим, что замена подынтегральной функции константой неоднозначна, так как ее можно выбрать равной значению подынтегральной функции в любой точке каждого частичного отрезка интегрирования. Выбирая константу равной значению подынтегральной функции в левой (рис. 4.4 а) или правой (рис. 4.4 б) границах отрезков , , приходим к формулам левых и правых прямоугольников, соответственно:

, (4.3)

. (4.4)