Материал: Методичка

Коэффициенты регрессии

Для определения той из моделей, которая наиболее точно описывает зависимость двух показателей, необходимо подсчитать суммы квадратов их отклонений и определить минимальное из полученных значений. Подробный расчет по линейной модели приведен в первой таблице, во второй таблице представлены данные по всем рассматриваемым моделям регрессии.

Расчет суммы квадратов отклонений по линейной модели

Сумма квадратов отклонений для рассматриваемых моделей

Как видно из последней таблицы, наименьшее отклонение наблюдается при кубической модели, поэтому можно считать, что она наиболее точно описывает зависимость между премиальным фондом и прибылью предприятий. Графически данная зависимость представлена на рис. 3.3.

Рис. 3.3. Зависимость между прибылью и премиальным фондом.

3.3.2. Полиномиальная аппроксимация

Пусть в качестве аппроксиманта функции используется полином степени : . Для табличной функции, заданной конечным множеством точек , , …, , запишем условие аппроксимации:

. (3.21)

Для нахождения неизвестных коэффициентов воспользуемся необходимым условием экстремума функции :

(3.22)

Систему (3.22) несложно преобразовать к системе уравнений, линейных относительно неизвестных параметров :

(3.23)

Система (3.23) имеет единственное решение, так как определитель ее матрицы – определитель Вандермонда – отличен от нуля. Функция (3.21) – выпуклая, следовательно, выполнение условия (3.22) является необходимым и достаточным признаком минимума функции , которая имеет единственный экстремум.

3.3. Вопросы для самопроверки

1. Перечислите и объясните различия между методами приближения, интерполяции и аппроксимации функций.

2. Сформулируйте теорему Вейерштрасса, каково ее значение при приближении функций полиномами.

3. Поясните принцип разложения функции в ряд Тейлора, приведите пример.

4. Охарактеризуйте оценку погрешности разложения функции в ряд Тейлора, приведите пример.

5. Дайте определение полинома Чебышева, запишите и объясните требование оптимальности в задаче о наилучшем приближении.

6. Запишите рекуррентное соотношение для вычисления многочленов Чебышева, приведите пример нескольких первых многочленов.

7. Поясните смысл ортогональности базиса, образуемого полиномами Чебышева, и использование свойства ортогональности при расчете значений соответствующих коэффициентов разложения.

8. Приведите общую формулу вычисления значений коэффициентов разложения функции в комбинацию многочленов Чебышева.

9. Поясните принцип экономизации степенных рядов при их корректировке до полиномов Чебышева, приведите пример.

10. Поясните принцип приближения функции с помощью дробно-рациональных функций и приведите общий пример вычисления значений соответствующих коэффициентов.

11. Как определяется погрешность приближения функции с помощью дробно-рациональных функций?

12. Какова задача методов интерполяции функций, дайте определение узлов интерполяции, интерполянта и интерполяционной сетки.

13. Приведите геометрический пример интерполирования функции и пример вычисления коэффициентов в полиноме степени прямым методом.

14. Запишите интерполяционную формулу Лагранжа и оценку ее погрешности.

15. Опишите метод построения полинома Лагранжа, приведите пример.

16. Запишите интерполяционную формулу Ньютона и оценку ее погрешности.

17. Опишите метод построения полинома Ньютона, приведите пример.

18. В чем сущность и особенности среднеквадратичной аппроксимации функций?

19. Поясните сущность метода наименьших квадратов, приведите пример.

20. Приведите примеры систем нормальный уравнений Гаусса, используемых для вычисления значений коэффициентов различных регрессионных моделей.

21. Какова сущность полиномиальной аппроксимации функций?

Глава 4. Численное интегрирование

Задачи, в которых требуется вычисление интегралов, возникают почти во всех областях прикладной математики, например, многие критерии оценки качества проектируемого изделия вычисляются с помощью определенных интегралов, в теории вероятности интеграл от функции плотности вероятности определяет вероятность некоторого события, с помощью интегралов вычисляются геометрические характеристики объектов и т.д. Иногда удается найти аналитическую формулу для вычисления определённого интеграла функции, но значительно чаще этого сделать не удается. В таких ситуациях требуется применять различные методы численного интегрирования функций.

Задача численного интегрирования заключается в вычислении определенного интеграла на основании ряда значений подынтегральной функции. В настоящее время разработано большое количество методов численного интегрирования функций, учитывающих различные особенности в постановке соответствующей задачи. В данной главе будут рассмотрены некоторые из подходов, в частности, приведены формулы вычисления интегралов, основанные на полиномиальной аппроксимации подынтегральной функции.

4.1. Понятие определенного интеграла

Перед тем как приступить непосредственно к рассмотрению методов численного интегрирования, рассмотрим теоретические основы, приводящие к понятию определенного интеграла. Пусть на отрезке задана функция . Разобьем отрезок на отрезков точками , , …, следующим образом , причем , а . На каждом отрезке , , выберем некоторую точку ; обозначим длину данного отрезка через . Сумму вида будем называть интегральной суммой для функции на отрезке . Очевидно, что интегральная сумма зависит как от способа разбиения отрезка точками , , …, , так и от выбора точек , , …, на каждом из отрезков разбиения , .

Пусть функция неотрицательна на , тогда отдельное слагаемое интегральной суммы равно площади прямоугольника со сторонами и , . В результате значение интегральной суммы равно суммарной площади под кусочной линией, образованной на каждом из отрезков соответствующей прямой , параллельной оси абсцисс, рис. 4.1. Для выбранного разбиения отрезка обозначим через максимальную из длин отрезков , («диаметр разбиения»).