Материал: Методические указания по проведению самостоятельной работы по разделу “Операционное исчисление. Теория вероятностей” дисциплины “Высшая математика”. Бырдин А.П., Заварзин Н.В

8. Ответы к задачам

7.1. а)

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

7.2. а) , ;

б) ,

;

в)

,

;

г) , , ;

9. Форма отчетности: устный опрос или контрольная работа.

Занятие 3

Тема: События. Классическое, статистическое и геометрическое определения вероятности. Теорема сложения вероятностей.

1. Основные понятия, формулы и теоремы

0. Испытания и события. Виды случайных событий [3, гл. 1, §1, 2].

1. Классическое определение вероятности [3, гл. 1, §3].

2. Относительная частота. Устойчивость относительной частоты. Статическая вероятность [3, гл. 1, §5,6].

3. Теорема сложения вероятностей несовместных событий [3, гл. 2, §1].

4. Теорема сложения вероятностей совместных событий [3, гл. 4, §1].

5. Ответы к задачам

1. . 4.2. . 4.3. .

4.4. . 4.5. .

6. Примеры решения задач по теме занятия

1. Вычислим вероятность выпадения герба при одном бросании монеты.

Решение. Очевидно, событие А  выпадение герба и событие В  выпадение цифры образуют полную группу несовместимых и равновозможных событий для данного испытания. Значит, здесь п = 2. Событию А благоприятствует лишь одно событие  само A, т.е. здесь т = 1. Поэтому .

2. Найти вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет число очков, делящееся на 2 (событие А).

Решение. Число элементарных событий здесь 6. Число благоприятствующих элементарных событий 3 (выпадение 2, 4 и 6). Поэтому .

3. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Какова вероятность того, что номер набран правильно?

Решение. Две последние цифры можно набрать способами, а благоприятствовать событию М (цифры набраны правильно) будет только один способ. Поэтому

4. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наудачу деталей 4 стандартных.

Решение. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 6 деталей из 10, т.е. числу сочетаний из10 элементов по 6 элементов ( ).

Определим число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию (среди шести деталей 4 стандартных). Четыре стандартных детали можно взять из семи стандартных деталей способами; при этом остальные 6-4=2 детали должны быть нестандартными; взять же 2 нестандартные детали из 10-7=3 нестандартных деталей можно способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно .

2. Основные навыки и умения

1. Уметь сформулировать понятие события.

2. Уметь определять виды случайных событий.

3. Знать классическое, статическое и геометрическое определения вероятности.

4. Уметь доказать теорему сложения вероятностей несовместных (совместных) событий.

5. Уметь вычислять вероятность.

3. Контрольные вопросы

1. Дайте классическое определение вероятности.

2. В чем состоит различие между вероятностью и относительной частотой?

3. Дайте статическое определение вероятности.

4. Дайте геометрическое определение вероятности.

5. Какие события называются несовместными?

6. Сформулируйте теорему сложения вероятностей несовместных (совместных) событий.

4. Типичные задачи

1. В конверте среди 100 фотокарточек находится одна разыскиваемая. Из конверта наудачу извлечены 10 карточек. Найти вероятность того. Что среди них окажется нужная.

2. В партии из 100 деталей отдел технического контроля обнаружил 5 нестандартных деталей. Чему равна относительная частота появления нестандартных деталей?

3. В круг радиуса R помещен меньший круг радиуса r. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадает также и в малый круг. Предполагается, что вероятность попадания точки в круг пропорциональна площади круга и не зависит от его расположения.

4. В ящике 10 деталей, из которых четыре окрашены. Сборщик наудачу взял три детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена.

5. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: ; . Найти вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

5. В урне 10 шаров: 3 красных, 5 синих и 2 белых. Какова вероятность вынуть цветной шар, если вынимается один шар?

Решение. Вероятность вынуть красный шар , синий . Так как события А и В несовместимы, то по доказанной выше теореме

.

7. Задачи для самостоятельного решения

7.1. В урне 12 шаров: 3 белых, 4 черных и 5 красных. Какова вероятность вынуть из урны черный шар?

7.2. Брошена игральная кость. Найдите вероятность того, что выпадет четное число очков.

7.3. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найдите вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 5.

7.4. В сосуд емкостью 10 л попала ровно одна болезнетворная бактерия. Какова вероятность зачерпнуть ее при наборе из этого сосуда стакана воды (200 см³)?

7.5. В партии из 100 деталей отдел технического контроля обнаружил 5 нестандартных деталей. Чему равна относительная частота появления нестандартных деталей?

7.6. При транспортировке из 1000 дынь испортилось 5. Чему равна относительная частота испорченных дынь?

7.7. При стрельбе по мишени вероятность сделать отличный выстрел равна 0,3, а вероятность выстрела на оценку «хорошо» равна 0,4. Какова вероятность получить за сделанный выстрел оценку не ниже «хорошо»?

7.8. Бросается один раз игральная кость. Определите вероятность выпадения 3 или 5 очков.

7.9. В урне 30 шаров: 15 белых, 10 красных и 5 синих. Какова вероятность вынуть цветной шар, если вынимается один шар?

7.10. В денежно-вещевой лотерее на серию в 1000 билетов приходится 120 денежных и 80 вещевых выигрышей. Какова вероятность какого-либо выигрыша на один лотерейный билет?

7.11. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.

7.12. В колоде 36 карт. Наудачу вынимают из колоды 2 карты. Определите вероятность того, что вторым вынут туз, если первым тоже вынут туз.

7.13. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов пять отличников.

7.14. Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна. Какова вероятность того, что будет вынута пика или туз?

7.15. В мешочке имеется 5 одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика написана одна из следующих букв: о, п, р, с, т. Найти вероятность того, что на вынутых по одному и расположенных “в одну линию” кубиков можно прочесть слово “спорт”.

8. Ответы к задачам

7.1. 1/3. 7.2. 0,5. 7.3. 0,81. 7.4. 0,02. 7.5. 0,05. 7.6. 0,005. 7.7. 0,7. 7.8. 1/3. 7.9. 0,5. 7.10. 0,2. 7.11. 24/91. 7.12. 3/35. 7.13. 14/55. 7.14. 1/3. 7.15. 1/120