Материал: Методические указания по проведению самостоятельной работы по разделу “Операционное исчисление. Теория вероятностей” дисциплины “Высшая математика”. Бырдин А.П., Заварзин Н.В
Решение. 1) Используем элементарные приемы для разложения этой дроби на сумму таких дробей, оригиналы которых известны:
По формулам 7 и 8 таблицы 1 имеем
;
.
Поэтому
.
2) Используем элементарные приемы разложения, известные из интегрального исчисления. Разложим данную дробь на простейшие дроби:
.
Для определения коэффициентов имеем тождество
.
Полагая
,
находим
;
.
Приравнивая коэффициент при
нулю и свободный член – единице, получим
,
.
Отсюда
;
.
Следовательно,
Таким образом,
Отсюда, используя формулы 2, 7 и 8 таблицы 1, находим
.
7. Задачи для самостоятельного решения
Найти изображение по Лапласу следующих оригиналов:
a)
,
б)
,
в)
,
г)
,
д)
.
Найти оригиналы, соответствующие изображению по Лапласу:
a)
,
б)
,
в)
,
г)
.
8. Ответы к задачам
7.1.
a)
,
б)
,
в)
,
г)
,
д)
.
7.2.
a)
,
б)
,
в)
,
г)
.
9. Форма отчетности: устный опрос или контрольная работа.
ЗАНЯТИЕ 2
Тема: Решение линейных дифференциальных уравнений и систем операционным методом
1. Основные понятия, формулы и теоремы
Операционный метод решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами [2, гл. 8, §1].
Операционный метод решения системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами [2, гл. 8, §1].
2. Основные навыки и умения
Уметь пользоваться теоремой о дифференцировании оригинала.
Пользуясь свойствами преобразования Лапласа, уметь переходить в дифференциальном уравнении от оригиналов к изображениям.
Уметь решать линейные алгебраические уравнения и системы алгебраических уравнений.
Уметь по известному изображению находить соответствующий ему оригинал.
Уметь пользоваться готовыми таблицами соответствия между оригиналами и изображениями.
3. Контрольные вопросы
3.1. Какое уравнение называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка?
3.2.
Сформулируйте теорему о дифференцировании
оригинала. Какие изображения будут
иметь первая и вторая (
и
)
производные оригинала?
Как перейти в дифференциальном уравнении от оригинала к изображению?
В чем состоит метод Крамера и метод Гаусса решения системы линейных алгебраических уравнений?
Назовите 4 типа элементарных рациональных дробей. В чем заключается метод неопределенных коэффициентов представления рациональной дроби в виде суммы элементарных дробей?
С помощью таблицы найдите оригинал, соответствующий изображению
.
4. Типичные задачи
4.1. Найти
решение уравнения
при начальных условиях
,
.
Найти решение уравнения
при начальных условиях
,
,
.Найти решение системы дифференциальных уравнений
при
начальных условиях
5. Ответы к задачам
4.1. 
.
4.2.
4.3.
6. Примеры решения задач по теме занятия
1. Найти решение дифференциального
уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям
,
.
Решение. Пусть
.
По теореме о дифференцировании оригинала
и таблице изображений получим изображающее
уравнение
Подставляя начальные данные, имеем
Отсюда
находим
.
Разложим
дробь
на сумму простейших дробей
и
получим систему уравнений для определения
коэффициентов
и
Отсюда
находим
,
Таким образом, имеем
.
По таблице изображений находим решение
уравнения в пространстве оригиналов
2. Найти общее решение уравнения
.
Решение. По таблице изображений находим
.
Полагая , имеем