Материал: Методические указания по проведению самостоятельной работы по разделу “Операционное исчисление. Теория вероятностей” дисциплины “Высшая математика”. Бырдин А.П., Заварзин Н.В

2. Основные навыки и умения

1. Знать определение дискретной и непрерывной случайных величин.

2. Уметь находить закон распределения вероятностей случайных величин.

3. Уметь находить математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины.

4. Уметь по интегральной функции распределения вероятностей непрерывной случайной величины находить дифференциальную функцию и наоборот.

5. Уметь находить вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал.

6. Уметь находить математическое ожидание и дисперсию непрерывной случайной величины.

7. При нахождении вероятности попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал уметь пользоваться табличными значениями функции

.

3. Контрольные вопросы

1. Каково отличие дискретной и непрерывной случайных величин?

2. Написать закон распределения вероятностей для биномиально распределенной случайной величины.

3. Написать формулы для вычисления математического ожидания и дисперсии дискретной случайной величины.

4. Сформулировать основные свойства математического ожидания и дисперсии дискретной случайной величины.

5. Сформулировать вероятностный смысл математического ожидания.

6. Чему равно математическое ожидание и дисперсия биномиально распределенной случайной величины?

7. Какой график имеет интегральная функция дискретной случайной величины?

8. Сформулировать основные свойства интегральной и дифференциальной функций распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

9. Как по интегральной функции распределения вероятностей непрерывной случайной величины найти дифференциальную функцию и наоборот?

10. Сформулировать вероятностный смысл дифференциальной функции.

11. Написать формулы для вычисления математического ожидания и дисперсии непрерывно распределенной случайной величины.

12. Чему равны математическое ожидание и дисперсия случайных величин распределенных: а) равномерно, б) нормально, в) показательно?

4. Типичные задачи

1. Игральная кость брошена 3 раза. Написать закон распределения числа появлений шестерки.

2. Найти математическое ожидание числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 20 билетов, причем вероятность выигрыша по одному билету равна 0,3.

3. Случайная величина задана дифференциальной функцией

при , Найти .

4. Случайная величина задана интегральной функцией при

Найти: а) дифференциальную функцию, б) вероятность попадания случайной величины в интервал ( -1; 0,5), в) математическое ожидание, г) дисперсию.

5. Случайная величина распределена нормально. Математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение этой величины соответственно равны 6 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания примет значение, заключенное в интервале (4;8).

5. Ответы к задачам

4.1.

	3	2	1	0

2. 6 билетов. 4.3. .

4. a) при

б) ; в) ; г) .

5. .

6. Примеры решения задач по теме занятия

1. В денежной лотерее разыгрывается 1 выигрыш в 100000 р., 10 выигрышей по 10000 р. и 100 выигрышей по 100 р. при общем числе билетов 10000. Найти закон распределения случайного выигрыша X для владельца одного лотерейного билета.

Решение. Здесь возможные значения для X есть: х₁ = 0, х₂ = 100, х₃ = 10000, х₄ = 100000. Вероятности их будут: р₂ = 0,01, р₃ = 0,001, р₄ = 0,0001, р₁ = 1  0,01  0,001  0,0001 = 0,9889. Следовательно, закон распределения выигрыша X может быть задан таблицей:

2. Задана плотность вероятности случайной величины X Требуется найти коэффициент А, функцию распределения F(x) и вероятность попадания случайной величины Х в интервал (0; 1).

Решение. Коэффициент А найдем, воспользовавшись соотношением Так как

то , откуда .

Применяя формулу , получаем функцию распределения F(x):

Наконец, формула и с учетом найденной функции F(x) дает

3. Случайная величина X задана плотностью вероятности

Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение величины X.

Решение. Имеем

и, наконец,

4. Случайная величина X определена как число выпавших гербов в результате 100 бросаний монеты. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение X.

Решение. Вероятность появления герба в каждом бросании монеты . Следовательно, вероятность непоявления герба . Случайная величина X имеет биномиальное распределение при п = 100 и . Поэтому

5. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 10 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (12;14).

Решение. Воспользуемся формулой

.

Подставив , , и , получим . По таблице находим: , . Искомая вероятность

.

6. Пусть случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами а = 20 и = 10. Найти .