7. Задачи для самостоятельного решения

7.1. Какова вероятность того, что из колоды в 36 карт будут вынуты подряд два туза?

7.2. Два стрелка стреляют по цели. Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,8, вторым стрелком  0,7. Найти вероятность поражения цели двумя пулями в одном залпе.

7.3. Найдите вероятность одновременного появления герба при одном бросании двух монет.

7.4. Имеется два ящика, содержащих по 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найдите вероятность того, что все две вынутые детали окажутся стандартными.

7.5. В семье двое детей. Принимая события, состоящие в рождении мальчика и девочки равновероятными, найдите вероятность того, что в семье: а) все девочки; б) дети одного пола.

7.6. В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны вынимают подряд два шара. Найдите вероятность того, что оба шара белые.

7.7. Вероятности того, что нужная сборщику деталь находится в первом, втором, третьем, четвертом ящике, соответственно равны Найти вероятности того, что деталь содержится: а) не более чем в трех ящиках; б) не менее чем в двух ящиках.

7.8. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна . Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

7.9. В первой коробке содержится 20 радиоламп, из них 18 стандартных; во второй коробке  10 ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найдите вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной.

7.10. Студент М может заболеть гриппом (событие А) только в результате либо переохлаждения (событие В), либо контакта с другим больным (событие С). Требуется найти Р(А), если Р(В) = 0,5, Р(С) = 0,5, Р_В(А) = 0,3, Р_С(А) = 0,1 при условии несовместимости В и С.

7.11. В коробке находятся 6 новых и 2 израсходованные батарейки для карманного фонарика. Какова вероятность того, что две вынутые из коробки наудачу батарейки окажутся новыми?

7.12. В каждой из трех урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны, окажется белым.

7.13. В первой урне 2 белых и 3 черных шара, во второй – 7 белых и 1 черный. Из первой урны во вторую переложили 2 шара, затем наудачу извлекли из второй урны шар. Найти вероятность того, что выбранный из второй урны шар – белый.

7.14. Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы курса 4, из второй – 6, из третьей группы – 5 студентов. Вероятности того, что студент первой, второй и третьей группы попадет в сборную института, соответственно равны 0,9; 0,7 и 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот студент.

7.15. Три стрелка произвели залп, причем две пули поразили мишень. Найти вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, если вероятности попадания в мишень первым, вторым и третьим стрелками соответственно равны 0,6; 0,5 и 0,4.

8. Ответы к задачам

7.1. 1/105. 7.2. 0,56. 7.3. 0,25. 7.4. 0,56. 7.5. а) 0,25; б) 0,5 7.6. 0,1. 7.7. а) 0,6976; б) 0б9572. 7.8. 0,8. 7.9. 0,9. 7.10. Р(А) = 0,2. 7.11. 15/28. 7.12. 0,4. 7.13. 0,78. 7.14. Вероятности того, что выбран студент первой, второй, третьей групп, соответственно равны: . 7.15. .

9. Форма отчетности: устный опрос или контрольная работа.

Занятие 5

Тема: Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

1. Основные понятия, формулы и теоремы

0. Определение последовательности независимых испытаний [3, гл.5, § 1].

1. Формула Бернулли, ее смысл [3, гл.5, § 1].

2. Вероятность того, что событие появится в n опытах от до раз [3, гл.5, § 1].

3. Определение асимптотического приближения [3, гл.5,§ 2].

4. Локальная теорема Лапласа [3, гл.5, § 2].

5. Интегральная теорема Лапласа [3, гл.5, § 3].

2. Основные навыки и умения

2.1. Уметь находить последовательность независимых испытаний.

2. Уметь пользоваться формулой Бернулли и ее следствиями.

3. Выводить формулу Бернулли.

4. Знать, как применяется локальная теорема Лапласа.

5. Уметь пользоваться таблицей для .

6. Знать, как применяется интегральная теорема Лапласа.

7. Уметь пользоваться таблицей для .

3. Контрольные вопросы

1. Дать определение независимых событий.

2. Что такое схема независимых испытаний?

3. Какова суть формулы Бернулли?

4. Откуда появляется множитель в формуле Бернулли?

5. Дать определение асимптотического приближения функции .

6. Как соотносится формула Бернулли и формула локальной теоремы Лапласа?

7. Как найти вероятность того, что событие появится в n опытах от до раз, если n невелико?

8. Когда справедлива формула для из интегральной теоремы Лапласа?

9. Как пользоваться таблицами для и , каковы свойства этих функций?

10. Какова вероятность того, что событие в n опытах появится: а) менее раз, б) более раз, в) не менее раз, г) не более раз?

4. Типичные задачи

1. В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент времени включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент: а) включено 4 мотора, б) включены все моторы; в) выключены все моторы.

2. Найти вероятность того, что при 100 подбрасываниях монеты герб выпадет 40 раз.

3. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена а) не менее 70 и не более 80 раз; б) не более 70 раз.

5. Ответы к задачам

1. ; ; .

2. .

3. ; .

6. Примеры решения задач по теме занятия

1. Найти вероятность того, что в пяти независимых испытаниях событие появится:

а) ровно 3 раза;

б) не менее трех раз;

с) не более трех раз;

г) хотя бы один раз,

если в каждом испытании вероятность появления этого события равна 0,8.

Решение. Так как число испытаний невелико, то для вычисления искомой вероятности воспользуемся формулой Бернулли: . В рассматриваемом случае:

а) вероятность появления события ровно 3 раза в 5 испытаниях

;

б) вероятность появления события не менее трех раз в 5 испытаниях

с) вероятность появления события не более трех раз в 5 испытаниях

г) вероятность появления события хотя бы один раз в 5 испытаниях

2. Вероятность поражения цели стрелком при одиночном выстреле равна р = 0,2. Какова вероятность того, что при 100 выстрелах цель будет поражена ровно 20 раз?

Решение. Воспользуемся формулой Лапласа

где

Здесь р = 0,2, q = 0,8, n = 100 и = 20. Отсюда и, следовательно,

.

Учитывая, что , получаем (для получения приближенного равенства можно использовать калькулятор).

3. Вероятность того, что изделие не прошло проверку ОТК, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных изделий окажутся непроверенными от 70 до 100 изделий.

Решение. Воспользуемся интегральной формулой Лапласа

,

, - функция Лапласа. Здесь n = 400, = 70, = 100, р = 0,2, q = 0,8. Поэтому, в силу равенств = 1,25, = 2,5 и

= Ф(2,5) + Ф(1,25) =

= 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.

7. Задачи для самостоятельного решения

7.1. При некоторых условиях стрельбы вероятность попадания в цель равна . Производится 6 выстрелов. Какова вероятность ровно двух попаданий?

7.2. Игральная кость бросается 5 раз. Найдите вероятность того, что два раза появится число очков, кратное трем.

7.3. Монета подбрасывается 5 раз. Какова вероятность того, что герб появится не менее двух раз?

7.4. Пусть всхожесть семян данного растения составляет 80%. Найдите вероятность того, что из 3 посеянных семян взойдут а) два; б) не менее двух.

7.5. Произведено 8 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна 0,1. Найти вероятность того, что событие появится хотя бы 2 раза.

7.6. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз.

7.7. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна . Найти вероятность того, что событие появится: не менее 75 раз и не более 90 раз; не менее 75 раз; не более 74 раз.

8. Ответы к задачам

7.1. 80/243. 7.2. 80/243. 7.3. 13/16. 7.4. а) 0,384; б) 0,896.7.5. 0,19. 7.6. . 7.7. ; ; .

9. Форма отчетности: устный опрос или контрольная работа.

Занятие 6

Тема: Случайные величины. Законы распределения. Числовые характеристики случайных величин.

1. Основные понятия, формулы и теоремы

0. Определение случайной величины. Дискретная и непрерывная случайные величины [3, гл.6, § 1,2].

1. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Биномиальное распределение и распределение Пуассона [3, гл.6, § 3-5].

2. Определение математического ожидания дискретной случайной величины. Вероятностный смысл математического ожидания. Свойства математического ожидания [3, гл.7, § 1-4].

3. Определение дисперсии дискретной случайной величины. Свойства дисперсии. Среднеквадратичное отклонение [3, гл.8, § 3-5, 7].

4. Определение интегральной функции распределения вероятностей случайной величины. Свойства интегральной функции. График интегральной функции [3, гл.10, § 1-3].

5. Определение дифференциальной функции распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал. Связь между интегральной и дифференциальной функциями. Свойства дифференциальной функции [3, гл.11, § 1-4].

6. Определения математического ожидания и дисперсии непрерывной случайной величины [ 3, гл.12, § 1].

7. Закон равномерного распределения вероятностей [3, гл.11, § 6].

8. Закон нормального распределения вероятностей. Вероятность попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины [3, гл.12, § 2-5].

9. Закон показательного распределения случайной величины. Вероятность попадания в заданный интервал показательно распределенной случайной величины [3, гл.13, § 1-3].