Материал: Методические указания по проведению самостоятельной работы по разделу “Операционное исчисление. Теория вероятностей” дисциплины “Высшая математика”. Бырдин А.П., Заварзин Н.В

0ФГБОУВПО “Воронежский государственный технический университет”

Кафедра прикладной математики

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

по проведению самостоятельной работы по разделу “Операционное исчисление.

Теория вероятностей ” дисциплины “Высшая математика”

для студентов специальности 140104

“Промышленная теплоэнергетика”

очной формы обучения

Воронеж 2011

Составители: канд. физ.-мат. наук А.П. Бырдин,

канд. физ.-мат. наук Н.В. Заварзин,

канд. техн. наук А.А. Сидоренко,

канд. физ.-мат. наук Л.П. Цуканова

УДК 517.2 (07)

Методические указания по проведению самостоятельной работы по разделу “ Операционное исчисление. Теория вероятностей” дисциплины “Высшая математика” для студентов специальности 140104 “Промышленная теплоэнергетика” очной формы обучения / ФГБОУВПО “Воронежский государственный технический университет”; cост. А.П. Бырдин, Н.В. Заварзин, А.А. Сидоренко, Л.П. Цуканова. Воронеж, 2011. 47 с.

Методические указания используются для организации и проведения самостоятельной работы студентов в четвертом семестре.

Предназначены для студентов второго курса.

Библигр.:5 назв.

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. В.Н. Потапов

Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р физ.-мат.

наук, проф. В.Д. Репников

Печатается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета

• ФГБОУВПО “Воронежский государственный технический университет”, 2011

Введение

Настоящие методические указания содержат:

1) перечень основных понятий, формул и теорем, которые студент должен изучить на каждом занятии и ссылки на основные учебники, имеющиеся в библиотеке ВГТУ;

2) перечень основных навыков, которыми должен овладеть студент в процессе изучения материала, а также контрольные вопросы для самопроверки;

3) набор типичных задач, необходимых для усвоения материала и ответы к ним;

4) подборку задач для самостоятельного решения.

Если самостоятельная работа проводится вместо лекции, то студент должен:

1) изучить и законспектировать вопросы, перечисленные в п. 1 по указанным учебникам;

2) решить типовые примеры и задачи;

3) ответить на контрольные вопросы;

4) отчитаться перед преподавателем.

Если самостоятельная работа проводится за счет практического занятия, то студент должен:

1. ответить на контрольные вопросы. При возникновении затруднений посмотреть в конспект лекций;

2. выполнить задачи, предложенные для самостоятельного решения;

3. Отчитаться перед преподавателем.

Примечание: каждое занятие рассчитано на два учебных часа – всего 12 часов. Какие четыре темы (из шести) выбрать для самостоятельной работы студентов решается для каждой специальности лектором.

Занятие 1

Тема: Понятие преобразования Лапласа. Свойства преобразования Лапласа.

1. Основные понятия, формулы и теоремы

1.1. Определение функции-оригинала, функции-изображения по Лапласу. Функция Хевисайда [1, гл.19, §1,20], [2, гл.7, §1].

1.2. Свойства преобразования Лапласа: [1, гл.19, §2-9,11,13, 19], [2, гл. 7, §2, 3].

2. Основные навыки и умения

1. Уметь сформулировать понятие функции-оригинала и функции-изображения по Лапласу.

2.2. Уметь вычислять изображения функций с помощью интеграла Лапласа.

2.3. Знать свойства преобразования Лапласа и уметь применять их для нахождения изображения по известному оригиналу.

4. Уметь применять свойства преобразования Лапласа для нахождения оригинала по известному изображению.

5. Уметь пользоваться готовыми таблицами соответствия оригиналов и изображений по Лапласу.

3. Контрольные вопросы

1. Какие функции могут быть оригиналом? Что называется показателем роста функции?

3.2. Что такое функция Хевисайда?

3.3. Что называется изображением функции f(t) по Лапласу?

3.4. Сформулируйте и запишите символически основные свойства преобразования Лапласа:

3.5. Найдите изображения функций 1, , , по Лапласу.

3.6. Найдите изображения функций , , , по Лапласу.

3.7. Найдите изображения функций t, , по Лапласу.

3.8. Найдите изображения функций , по Лапласу.

4. Типичные задачи

1. Найти изображение по Лапласу оригинала .

2. Найти изображение по Лапласу оригинала .

3. Найти по таблице оригинал, соответствующий изображению по Лапласу .

4. Найти по таблице оригинал, соответствующий изображению по Лапласу .

5. Ответы к задачам

4.1.

4.2.

4.3. 4.4.

6. Примеры решения задач по теме занятия

При нахождении оригинала по его изображению пользуются таблицей 1 и свойствами преобразования Лапласа.

1. Найти изображение по Лапласу следующих оригиналов:

a) , б) , в) ,

г) , д) .

Решение. а) Так как , то . Применив формулу 2, получаем

.

б) Воспользуемся формулой Эйлера . Тогда

Применив формулу 4, получаем

.

в) По определению гиперболического синуса имеем . Следовательно,

.

г) Так как , то

.

Применив формулу 7, получим

.

д) Так как , то применив формулу 13 при , получаем

.

2. Найти оригиналы для следующих изображений:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

Решение. При решении будем использовать таблицу 1.

1) Из формулы 12 имеем 2) из формулы 13 имеем 3) из формулы 3 имеем 4) из теоремы линейности и формулы 6 получим 5) из формулы 8 имеем 6) по теореме запаздывания получим

3. Найти оригиналы для следующих изображений:

1) 2) .