Материал: Методические указания по проведению самостоятельной работы по разделу “Операционное исчисление. Теория вероятностей” дисциплины “Высшая математика”. Бырдин А.П., Заварзин Н.В

где числа и играют роль произвольных постоянных.

Изображающее уравнение имеет вид

.

Отсюда

.

Преобразуем первое слагаемое для и найдем по таблице соответствующий ему оригинал

Для второго слагаемого имеем

Для отыскания оригинала последнего слагаемого разложим его на простейшие дроби

.

Система уравнений для определения коэффициентов разложения имеет вид

Откуда находим , , . Следовательно,

Собирая оригиналы всех слагаемых, находим решение уравнения

.

Положим , , получим

3. Найти решение уравнения при начальных условиях

Решение. Найдем прежде всего изображение правой части. Так как (формула 12), то по теореме затухания . Учитывая, что и составим операторное уравнение:

;

отсюда .

Оригинал для первого слагаемого находим по формуле, указанной выше. Так как , то (теорема смещения в изображении).

Второе слагаемое запишем в виде

.

Тогда и окончательно

.

4. Найти решение системы дифференциальных уравнений

при начальных условиях

Решение. Если считать, что и , то по теореме дифференцирования оригинала и (для краткости записи мы не пишем аргументы функций). Система операторных уравнений примет вид

или, после преобразования,

В результате мы получили систему алгебраических линейных уравнений относительно неизвестных изображений и Решая эту систему, находим

и, возвращаясь к оригиналам,

5. Найти решение однородной системы

при начальных условиях

.

Решение. Система операторных уравнений запишется в виде

Эту систему решим при помощи определителей. Определитель системы равен

Вычислим его, опираясь на свойства определителей (сначала к первому столбцу прибавим оба остальных столбца, а затем из второй и третьей строк вычтем первую; в результате этих преобразований определитель не изменится):

7. Задачи для самостоятельного решения

1. Решить следующие дифференциальные уравнения при заданных начальных условиях:

а) , ;

б) , ;

в) , , ;

г) , ;

д) , ;

е) , , , .

2. Решить следующие системы уравнений:

а) , , ;

б) , ;

в) ;

г) , , , .

= .

Вычислим определители

=

= 

=

Теперь находим изображения искомых решений:

Для перехода к оригиналам воспользуемся формулой, согласно которой:

Применяя теорему дифференцирования оригинала, находим .

Снова применяя эту же теорему, получим (каждый раз значение оригинала при равно нулю)